Experiment Münzwurf und Würfel

Question

Aufgabe:

Wir werfen einmalig einen fairen Würfel (dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 beschriftet sind) und notieren das Ergebnis. Anschließend werfen wir eine faire Münze (mit Seiten \(K\)und \(Z\)) so oft, wie das Ergebnis des Würfelwurfs angibt.

a) Gib einen Ergebnisraum \(\Omega\) und einen Wahrscheinlichkeitsvektor \(p\) an, mit dem das Experiment beschrieben werden kann.

b) Sei \(X\) die Zufallsgröße, die angibt, wie oft \(K\) geworfen worden ist. Bestimme \(\mathbb{P}(X=5)\).

c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel eine 1 gezeigt hat, wenn bekannt ist, dass niemals bei einem Münzwurf\( K\) geworfen wurde.
Problem/Ansatz:

Bei der a) bräuchte ich besonders Hilfe, da ich nicht weiß wie man das ganze Experiment mathematisch beschreiben kann.

Comments

a)

Den Ereignisraum kann man doch z.B. wie folgt schreiben.

$$\Omega = \bigcup_{n=1}^{6} \left\{ n \right\} \times \left\{ K, Z \right\}^n$$

Natürlich könntest du auch alle 126 Elemente einzeln aufschreiben.

Ω = {1K, 1Z, 2KK, 2KZ, 2ZK, 2ZZ, ..., 6ZZZZZZ}

---

Der Ereignisraum enthält die Ereignisse

- Kopf

- Zahl

- Kopf und Kopf

- Kopf und Zahl

- Zahl und Kopf

- Zahl und Zahl

- KKK

- KKZ

- KZK

- ZKK

- KZZ

usw. bis

- ZZZZZZ

---

Das ist überhaupt nicht richtig.

Answer 1

a) Welche Ergebnisse sind denn möglich?

Du würfelst eine 1, dann wird einmal die Münze geworfen und es kann Kopf oder Zahl kommen. Das ergibt die Kombinationen (1,K) und (1,Z).

Du würfelst eine 2, dann wird die Münze zweimal geworfen, das ergibt die Kombinationen:

(2,K,K), (2, K,Z), (2,Z,K), (2,Z,Z)

usw.. das Muster ist leicht zu erkennen.

Das gibt Dir insgesamt den Lösungsraum.

Da Würfel und Münze fair sind, sind die Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse leicht zu berechnen.

Comments

Okay, das sehe ich. Aber ich bin mir unsicher, wie die Wahrscheinlichkeiten zu stande kommen. Bei der b) ist die Wahrscheinlichkeit \(\mathbb{P}(X=5)\) gesucht. Das ist möglich wenn \((5,K,K,K,K,K)\). Muss man noch die Fälle \((6,K,K,K,K,K,Z)\) usw noch berücksichtigen?

---

Ja, das muß man. Denn in diesen Fällen kann ja Kopf auch 5 mal vorkommen wie Dein Beispiel zeigt. Hier muß man sich fragen, wieviel Möglichkeiten gibt es, daß K 5 mal bei 6 Würfen vorkommt.

---

Bei der c) ist muss man nach der bedingten Wahrscheinlichkeit suchen, oder?

---

Ja, ganz genau,

Zum Vergleich: Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte das 32/63 geben.

---

Bei 6 Würfen gibt es 6 Möglichkeiten, dass \(K\) 5mal vorkommen kann. Muss man noch die Wahrscheinlichkeit berücksichtigen dass man eine 5 oder 6 gewürfelt hat?

---

\(\frac{32}{63}\) bei der c)? Kannst du mal deine Rechnung teilen? Ich hab gerade einen kompletten Denkfehler.

---

Hier kann übrigens ein Baumdiagramm helfen.

---

Das Problem ist sicher im Nenner der Formel für die Bedingte Wahrscheinlichkeit zu suchen.

Dort ist P(X=0) zu ermitteln.

Dazu sind die Wahrscheinlichkeiten aller Fälle zu addieren, bei denen kein Kopf vorkommt.

Also:

1 gewürfelt + 1x Zahl

2 gewürfelt + 2x Zahl

usw.

Das ergibt

P(X=0) =1/6*(1/2 + 1/4 + … + 1/64) = 21/128

---

Ja ich habe mein Fehler gesehen und zwar habe ich vergessen die 1/6 zu berücksichtigen. Kommt bei b) \(\frac{1}{48}\) raus?

---

Das ist korrekt.

---

Sehr gut, vielen Dank für die Hilfe.