Kern der verallgm. Inversen (Moore Penrose Inverse)

Question

Es sei A⁺ die Moore Penrose Inverse, also der Operator der jedem g aus der Normalgleichung A*Af=A*g, das f zuordnet, das diese Gleichung erfüllt und zusätzlich die kleinste Norm hat (also die Minimumnormlösung f⁺). Ich habe gelesen, dass das für den Range dieser Inversen folgendes gilt R(A⁺)=R(A*) wobei A* der adjungierte Operator von A ist.

Kann man auch den Kern der Moore Penrose Inversen N(A⁺)  mit dem Kern oder Range von A bzw. A* darstellen?

Comments

Beachte doch den Zusammenhang zwischen dem orthogonalem Komplement des Kerns der adjungierten einer Abbildung und deren Bild.

Answer 1

Der Kern der Moore-Penrose-Inversen \( A^+ \) ist gleich dem Kern des adjungierten Operators \( A^* \):
\( \boxed{N(A^+) = N(A^*)} \)

Begründung:
Definition der Moore-Penrose-Inversen:
\( A^+g \) liefert die Minimumnormlösung der Normalgleichung \( A^*A f = A^*g \). Für \( A^+g = 0 \) muss die Minimumnormlösung \( f = 0 \) sein.

Bedingung für \( A^+g = 0 \):
Die Gleichung \( A^*A f = A^*g \) hat \( f = 0 \) als Lösung genau dann, wenn \( A^*g = 0 \). Dies folgt aus der Injektivität von \( A^A \) auf \( R(A^) \) (da \( N(A^A) = N(A) \perp R(A^) \)).

Zusammenhang mit \( A^* \):
\( A^+g = 0 \iff A^g = 0 \), also \( N(A^+) = N(A^*) \).

Beispiele zur Veranschaulichung:
Fall 1: Sei \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \).
Dann ist \( A^+ = A \), und \( N(A^+) = N(A) = \left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ y \end{bmatrix} \mid y \in \mathbb{C} \right\} \), was auch \( N(A^*) \) entspricht.

Fall 2: Für eine Matrix \( A \) mit vollem Spaltenrang ist \( A^+ = (A^A)^{-1}A^ \).
Hier gilt \( N(A^+) = N(A^*) \), da \( A^ \) injektiv auf \( R(A) \) wirkt.

Fazit:
Der Kern der Moore-Penrose-Inversen \( A^+ \) ist stets der Kern des adjungierten Operators \( A^* \). Dies ergibt sich aus der Orthogonalität der Räume \( R(A^*) \) und \( N(A) \) sowie den Eigenschaften der Pseudoinversen.