Konstruktion von Kreisen mit Zirkel und Lineal

Question

Da hier so wenig los ist, anbei was zum Knobeln:

Gegeben ist ein Halbkreis mi Radius \(r\) über der Strecke \(AB\) mit Mittelpunkt \(M\). Die Gerade durch \(AB\) sei \(g\). Der Punkt \(P\) liegt auf \(AB\). Die Gerade durch \(P\) orthogonal zu \(g\) sei \(h\).

Gesucht sind die beiden roten Kreise \(k_1\) und \(k_2\) mit den Mittelpunkten \(K_1\) und \(K_2\) derart, dass sie jeweils links \(h\), unten \(g\) sowie den Halbkreis berühren. Die Kreise sind mit Zirkel und Lineal zu konstruieren. Die Korrektheit der Konstruktion ist zu beweisen.

Viel Spaß beim Knobeln

Gruß Werner

Answer 1

Schöne Aufgabe. Gegeben sind durch die Situation r und x, gesucht ist im Prinzip R (für den größeren der beiden roten Kreise).

(R+r)²=(R+r-x)² + R² ist dann nach R aufzulösen.

PS: Ob für den Radius des kleineren roten Kreises ein komplett neuer Ansatz erforderlich ist oder ob er quasi als "Abfallprodukt" sich aus einer zweiten Lösung der oben genannten (quadratischen) Gleichung ergibt, mag jeder Interessierte selbst ausprobieren. Ich will euch den Spaß am Knobeln nicht nehmen.

Comments

... ist dann nach R aufzulösen.

Zirkel & Lineal?

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Zirkel & Lineal?

Schon mal was von "algebraischer Methode beim Lösen von Konstruktionsaufgaben" gehört?

Wenn es sich mit irgendwelchen Summen/Differenzen von Quadratwurzeltermen berechnen lässt, lässt es sich auch mit Zirkel und Lineal konstruieren.

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Wenn es sich mit irgendwelchen Summen/Differenzen von Quadratwurzeltermen berechnen lässt, lässt es sich auch mit Zirkel und Lineal konstruieren.

zum einen ist diese Aussage mit der Aussage gleich zu setzen: "Die Aufgabe ist lösbar" ! und zum anderen darfst Du davon ausgehen, dass ich die Aufgabe nicht gestellt hätte, wenn das die erwartete Lösung sein sollte. Da ist noch mehr Musik drin ;-)

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Ist C der Schnittpunkt des gegebenen Halbkreises mit h und sind a und b die üblichen Bezeichnungen der Seiten im ΔABC, so besteht meine Musik im Zeichnen der Kreisbögen um A mit Radius b und um B mit Radius a und Feststellen ihrer Schnittpunkte mit g, um auf diesen Schnittpunkten die Lote auf g und anschließend deren Schnittpunkte mit der Winkelhalbierenden von ∠BPC als Mittelpunkte der gesuchten Kreise zu ermitteln.

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dass ich die Aufgabe nicht gestellt hätte, wenn das die erwartete Lösung sein sollte.

Also ich finde es eher erfrischend, wenn es zu einer Aufgabe mehr als nur die eine erwartete "Standardlösung" gibt.

Warten wir einfach beide mal ab, was noch so an Lösungsvarianten hereinkommt.

Wenn wir die Frage 10 Jahre ruhen lassen, kommt vielleicht sogar noch eine Lösung mit quadratischer Ergänzung (oder mit dem Lemma von Honigtau-Bunsenbrenner).

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Wenn wir die Frage 10 Jahre ruhen lassen, ...

nicht nötig! hj hat nicht so lange gebraucht. Die Standardlösung wäre IMHO übrigens Deine gewesen.

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Wenn wir die Frage 10 Jahre ruhen lassen, kommt vielleicht sogar noch eine Lösung mit quadratischer Ergänzung.

Wer weiß? Vielleicht fällt mir ja in der Richtung noch etwas ein.

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Hallo

Schade, dass hj Kommentar nicht als Antwort auftaucht!

An abakus: ich finde schon dass eine Aufgabe, die als Konstruktionsaufgabe gestellt ist , nicht mit Pythagoras und en Worten alle Wurzeln kann man mit Zirkel und Lineal konstruieren gelöst ist.

lul

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(R+r)²=(R+r-x)² + R²

@lul

R²+2Rr+r²=R²+r²+x²+2Rr-2Rx-2rx+R²

0=x²-2Rx-2rx+R²

R²-2xR+(x²-2rx)=0

\(R_{1,2}=x\pm \sqrt{2rx}\)

Muss ich dir jetzt wirklich zeigen, wie man aus vorgegeben Längen

2r und x eine Strecke der Länge \( \sqrt{2rx}\) konstruiert?

Wenn man die rote Strecke noch um die Länge x verlängert, hat man R1.

Die so gewonnene Länge R1 verwendet man, um das Quadrat zu konstruieren, dessen rechte obere Ecke der Kreismittelpunkt ist:

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Hallo

Nein, erklären "mußt" du natürlich nicht wie man Wurzeln konstruiert, aber eine Konstruktion ohne Rechnung ist klassisch und schön und war gefragt. (auch deine Lösung ist ja ok und gut, aber entspricht halt nicht der klassischen Aufgabe)

Gruß lul

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aber eine Konstruktion ohne Rechnung ist klassisch und schön

Da hast du meine volle Zustimmung.

und war gefragt.

Nein. Werner hat erst hinterher gesagt, dass er sowas wie meine Lösung eigentlich nicht wollte. Gefragt war einfach nur eine Lösung mit Zirkel und Lineal.