Bestimmen Sie Gleichungen der beiden Geraden, die in der x2x3-Ebene liegen und die x2 Achse im Punkt P(0|2|0) unter …

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie Gleichungen der beiden Geraden, die in der x2x3-Ebene liegen und die x2 Achse im Punkt P(0|2|0) unter einem Winkel von 60° schneiden.

Problem/Ansatz:

Es muss irgendwas mit cos(60°)=0,5 zu tun haben. Aber bei der Rechnung bin ich verloren. Kann mir jemand helfen?

Answer 1

1. Schritt: Skizze!

2. Schritt: Punkt-Richtungsform einer Geraden raussuchen, einsetzen, was bekannt ist.

3. Noch fehlendes aus der Skizze entnehmen, in der Du ja den Richtungsvektor eingezeichnet hast. Dabei kleine Rechnung mit dem Winkel.

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Comments

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ b\end{array}\right) \\ h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ d\end{array}\right) \\ \cos \left(60^{\circ}\right)=\frac{|\vec{v} \cdot \vec{u}|}{|\vec{v}| \cdot|\vec{u}|}\end{array} \)

Ich stehe wirklich auf dem Schlauch bei dieser Aufgabe… Ich weiß nicht weiter

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Du bist doch fast da. Beide Geraden schneiden die x₂ Achse mit 60°. Was ist der Richtungsvektor der x₂ Achse? Rechne damit den cos Ausdruck aus…

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Das ist doch schon sehr gut!

Für den fehlenden Richtungsvektor brauchen wir noch einen zweiten Punkt. Am besten den Schnittpunkt der Geraden mit der \(x_3\)-Achse.

Nehmen wir mal \(g\). Zeichne die 2 und das gesuchte \(b\) in die Skizze ein. Dann benutze den \(\tan 60^\circ\) und das rechtwinklige Dreieck, das Du siehst. Für \(h\) analog, auch \(h\) schneidet die \(x_3\)-Achse. Übrigens sollten Deine beiden \(60^\circ\)-Winkel auch in der Skizze gleich groß sein.

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Der richtungsvektor ist [0;1;0] oder?

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Genau, und damit kannst dann eine Bedingung für a,b bzw. c,d berechnen. Gemeinsame Faktoren kann man ja immer in das s (oder t) ziehen…

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Ich finde den Weg über zwei rechtwinklige Dreiecke einfacher.

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Vielen Dank für die Antworten! Den Weg mit den rechtwinkligen Dreiecken finde ich interessant, jedoch verstehe ich ihn leider nicht so richtig. Was meinen Sie mit „zeichne die 2 in die Skizze ein“? Es tut mir leid für die ganzen Nachfragen, ich will die Aufgabe aber unbedingt verstehen und bin aber ratlos…

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Na, Du hast doch den Punkt, von dem die Winkel ausgehen, in der Skizze. Aber der steht da einfach so, ohne Koordinaten, die Du ja kennst.

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Ja, die Koordinaten des Stützvektors sind ja (0|2|0)

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Also ergänze die Skizze entsprechend. Den Schnittpunkt von \(g\) mit der \(x_3\)-Achse nenne mal \((0,0,u)\) (sorry, nicht mit \(b\) nach Deiner Bezeichnung). Also: 2 markieren, \(u\) markieren, dann das Dreieck.

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Das habe ich ausprobiert, dann bekomme ich mit dem Tan für u= 2 wurzel 3

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Ja, sehr gut, dann hast Du mit diesem \(u\) einen zweiten Punkt der Geraden und mit dem altbekannten Punkt zusammen kannst Du damit den Richtungsvektor ausrechnen.

Für die andere Gerade klappe das Dreieck nach unten (einmal den Winkel nach oben gemessen: gibt \(g\), einmal nach unten gemessen: gibt \(h\)).

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\overrightarrow{P H}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 2\sqrt{3}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ -2 \\ 2\sqrt{3}\end{array}\right) \\ \Rightarrow g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -2 \\ 2 \sqrt{3}\end{array}\right)\end{array} \)

Das wäre dann meine erste Gleichung. Ist das korrekt?

Unknown: Latex angepasst.

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Ja.                .

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Ich danke Ihnen sehr für die Hilfe, ich freue mich sehr, dass ich die Aufgabe nun verstanden habe! Danke danke danke!

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Gerne. Gut, dass Du dran geblieben bist.

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Das wäre dann meine erste Gleichung. Ist das korrekt?

Wenn die 5 vor dem Richtungsvektor von g ein s sein soll, wäre es tatsächlich eine Geradengleichung..

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Wenn die 5 vor dem Richtungsvektor von g ein s sein soll,

Ist aus dem Foto klar erkennbar.

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ja, nachdem Unknown es korrigiert hat

Man muss nicht alles anmosern!

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Man muss nicht alles anmosern!

Womit du ja angefangen hast.

Wer sich eher auf die Texterkennung als auf das Bild verlässt, macht meines Erachtens sowieso etwas falsch.

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ja, nachdem Unknown es korrigiert hat

Unknown hat das Foto nicht korrigiert.

Man muss nicht alles anmosern!

Das sagt der richtige. Gemosert hat hier nur einer, nämlich der, der nicht richtig hingeschaut hat, das aber nicht einsehen will.

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Die selbsternannten Chefkommentatoren des Forums haben gesprochen! Über euch kann ich nur noch lachen.

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Weiter so, es wird immer lächerlicher :-)

Answer 2

Die Geraden haben die Form:

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\2\\0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 0\\a\\b \end{pmatrix}$$

bzw.

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\2\\0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 0\\c\\d \end{pmatrix}$$

Sie schneiden die x₂-Achse mit 60°. Daraus folgt für die erste Gerade:

$$\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\a\\b \end{pmatrix} / |\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}|*|\begin{pmatrix} 0\\a\\b \end{pmatrix}| = 1/2 = \frac{a}{\sqrt{({a^{2}}+b^{2})}} \Longrightarrow b = \pm \sqrt{3}a \Longrightarrow \\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\2\\0 \end{pmatrix} + λ\begin{pmatrix} 0\\1\\\sqrt{3} \end{pmatrix} \text{ und somit }\\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\2\\0 \end{pmatrix} + μ\begin{pmatrix} 0\\1\\-\sqrt{3} \end{pmatrix} \text{für die zweite Gerade. }$$

Comments

Schade, ungeduldig geworden.

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\(\dfrac{\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\a\\b \end{pmatrix}}{ \left|\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix} 0\\a\\b \end{pmatrix}\right| }\)

So finde ich es schöner.

:-)