Bilden diese Mengen bezüglich (a,b)(c,d):= (ac,ad-bc) eine Gruppe...?

Question

Gegeben sind die Mengen \( G=\left\{(a, b) \in \mathbb{R}^{2} \mid a \neq 0\right\} \) und \( H=\left\{(a, b) \in \mathbb{R}^{2} \mid b \neq 0\right\} . \) Untersuchen Sie, ob diese Mengen bzgl. der Operation

\( (a, b) \circ(c, d):=(a c, a d-b c) \)

eine Gruppe bilden.

Answer 1

Für eine Gruppe müssen die Gruppenaxiome gelten:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppe_(Mathematik)

Diese umfassen das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen. 

Langt das schon als Hinweis? Ich glaube ihr habt das bestimmt mal zumindest an der Addition vorgemacht bekommen wie das geht oder?

Comments

leider noch nicht, wir sind da auf uns allein gestellt. aber danke für den hinweis, ich schau es mir an! : )

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An der Aufgabe werkel ich auch rum.

Ich habe für Paare (a, b) , (c, d) , (e, f) folgendes gerechnet

( (a, b) * (c, d) ) * (e, f) und

(a, b) * ( (c, d) * (e, f) )

Beide Ergebnisse unterscheiden sich um ein + bzw. -

Ich würde jetzt meinen, das es nicht kommutativ ist und keine Gruppe bildet, aber ich hab keine Ahnung wie sich a ungleich 0 bzw. b ungleich 0 aus den gegebenen Mengen auswirken.

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Du prüfst mit deiner Rechnung Assoziativität: Zitat

"Ich habe für Paare (a, b) , (c, d) , (e, f) folgendes gerechnet

( (a, b) * (c, d) ) * (e, f) und

(a, b) * ( (c, d) * (e, f) )

Beide Ergebnisse unterscheiden sich um ein + bzw. - "

Wenn dem so ist,  ist die Operation nicht assoziativ ist und man hat keine Gruppe.

Kommutativ und nicht kommutativ ist eine mögliche Unterscheidung von Gruppen. Da ist beides erlaubt.

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Du meinst die Assoziativität ist nicht gegeben. Das würde ich genau so sehen. Damit bilden die Mengen bezüglich der Operation keine Gruppe. Ein ungleich Null ändert daran auch nichts.

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Ah genau, assoziativ meinte ich ja eigentlich auch.

Danke für die Antworten !