Wie macht man die Probe bei solchen Aufgaben:
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Aufgabe 8 Es seien \( \vec{a}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{c}s \\ 1 \\ s-1\end{array}\right), \vec{c}=\left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \vec{d}=\left(\begin{array}{c}1-t \\ -t \\ 2 t+3\end{array}\right) \).
(a) Bestimmen Sie alle \( s \in \mathbb{R} \), so dass \( \varphi(\vec{a}, \vec{b})=\frac{3}{4} \pi \).
Hier wurde die Probe so gemacht, allerdings verstehe ich nicht so ganz wie der darauf gekommen ist
Text erkannt:
(8)
\( \underline{\text { Aufg } 8} \) al \( \vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}s \\ 1 \\ s-1\end{array}\right)=2 s-1 \)
\( \begin{array}{l} |\vec{a}|=\sqrt{2},|\vec{b}|=\sqrt{s^{2}+1^{2}+(s-1)^{2}}=\sqrt{2 s^{2}-2 s+2} \\ \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{s}| \cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}|\vec{a}||\vec{b}| \\ \Leftrightarrow \quad 2 s-1=-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2^{2}} \sqrt{2 s^{2}-2 s+2}=-\sqrt{2 s^{2}-2 s+2} \\ \qquad \quad(\Rightarrow 2 s-1 \leqslant 0 \quad!) \\ \Rightarrow(2 s-1)^{2}=2 s^{2}-2 s+2 \\ \Leftrightarrow 4 s^{2}-4 s+1=2 s^{2}-2 s+2 \quad \Leftrightarrow 2 s^{2}-2 s-1=0 \end{array} \)
\( \Leftrightarrow s^{2}-s-\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow\left(s-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4} \)
\( \Rightarrow s=\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{3} \)
Chedr LOg! \( \varphi=\frac{3 \pi}{4} \Rightarrow \cos \varphi<0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}<0 \)
\( \begin{array}{l} s=\frac{1}{2}+\frac{1}{8} \sqrt{3}: \vec{a} \cdot \vec{b}=2 s-1=1+\sqrt{3}-1=\sqrt{3}>0 \Rightarrow \text { beine Los. } \\ s=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{3}: \quad 2 \cdot-1=-\sqrt{3}<0 \Rightarrow L_{0} . \end{array} \)
Aloo: vaur fior \( s=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{3} \) ist \( \quad \) s \( (\overrightarrow{1}, \vec{b})=\frac{3 \pi}{4} \).
