Grenzwertverhalten mit e-Funtkionen

Question

Ich habe eine allgemeine Frage zu Grenzwerten und e-Funktionen, weil ich gerade sehr verwirrt bin. Also beispielsweise die Aufgabe:

f(x)= x*e^x -4x

lim (x gegen unendlich) würde ja bei der e funktion unendlich und bei der -4x -unendlich rauskommen, also dann multipliziert= -unendlich.

Das ist aber anscheinend falsch, weil da unendlich raus kommt und ich verstehe nicht wie man darauf kommt, wenn man jetzt keinen Graphen vor augen hat.

Dann

lim (x gegen - unendlich)= für die e funktion 0 und für -4x = unendlich, 0 mal unendlich ist doch 0, wieso kommt da also unendlich raus?

Und eine zusätzliche Frage, hat das x vor dem e noch mehr einfluss?

Bitte helfe

Answer 1

Wie kommst du darauf, dass hier irgendetwas multipliziert wird? Die Funktion lautet doch

\(f(x)=x\mathrm{e}^x-4x\).

Es wird also nicht mit \(4x\) multipliziert.

Das \(x\) hat da kaum Einfluss. Das Verhalten wird maßgeblich durch die e-Funktion bestimmt.

Comments

wieso ist dann bei lim -unendlich das Ergebnis unendlich, wenn die e-Funktion 0 ist und -4x unendlich? Hat die e-Funktion nicht einen größeren Einfluss?

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In dem Produkt hat der e-Term den größeren Einfluss. Wenn dieser Term jetzt aber 0 wird, hast du ja immer noch das \(-4x\). Warum sollte das dann keinen Einfluss mehr haben?

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Ahh ich verstehe es jetzt

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Prima. Probiere das gerne nochmal an anderen Beispielen aus und überprüfe deine Überlegungen, indem du die Graphen zeichnen lässt.

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Grundsätzlich empfehle ich sich die Funktion auch mal skizzieren zu lassen bzw. selber mit Wertetabelle zu skizzieren. Bei Bedarf auch mit den Asymptoten.

Das könnte noch mehr helfen, dass Verhalten von Funktionen zu verstehen.

Wichtig ist aber in dem Zusammenhang schon, dass man die 4 Grundrechenarten nicht vertauscht.

~plot~ x*e^x-4x;-4x;[[-4|4|-2|20]] ~plot~

Answer 2

$$ f(x) = x e^x - 4x = x ( e^x - 4) \ge 4 x  \text{ falls }  x\ge 3 $$

weil \( e^x = 1 + x + \sum_{k=2}^\infty \frac{x^k}{k!} \ge 4 \) gilt, für \( x \ge 3 \)

Also gilt $$ \lim_{x\to \infty} f(x) = \infty $$

Comments

Dein Argument habe ich nicht verstanden: Du schreibst e^x>=4 und folgerst daraus e^x-4>=4?

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Das ist aber auch eine sehr schwache Abschätzung. Es gilt ja bereits \(\mathrm{e}^3\geq 20\).

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Ja, da habt ihr beide recht mit Eurer Kritik. Ich formuliere es nochmal neu.

Wenn die Funktion \( f(x) = x e^x - 4x \) für \( x \to \infty \) den Grenzwert \( \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \) besitzen soll, dann muss man nachweisen das gilt:

Zu jedem \( M > 0 \) existiert ein \( x_0 > 0 \) s.d. für alle \( x\in\mathbb{D}_f > x_0 \) auch \( f(x) > M \) gilt.

Jetzt ist \( f(x) = x(e^x - 4) = x \left( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \sum_{k=3}^\infty \frac{x^k}{k!} - 4 \right)  \)

D.h. \( f(x) \ge x \left( 1 + x + \frac{x^2}{2} - 4  \right)\ge x\) falls \( x \ge 2 \) gilt.

D.h. für alle \( x > x_0 = \max(2,M) \) gilt

\( f(x) \ge x \ge M \)

Also gilt \( \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \)

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Unnötig kompliziert. Wozu Potenzreihen hier? Und die Konstruktion mit dem max ist auch unnötig. Warum nicht einfach, wie vorgeschlagen, \(e^3\ge 20\), oder auch \(e^2> 4\)), und die (vermutlich bekannte) Monotonie der e-Funktion verwenden?

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Geht ja nicht um kompliziert oder nicht, sondern um richtig oder nicht. Und außerdem setzt Du ja auch Kenntnisse über \( e \) voraus. Die Zahl ist aber entweder durch eine Potenzreihe oder eine Folge definiert. Ich habe mal die Potenzreihe genommen. Und die Monotonie, woher weisst Du, dass die bekannt ist? Und außerdem sollte man sich an die Definition eines Grenzwertes erinnern.

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Geht ja nicht um kompliziert oder nicht

doch, zur Erinnerung: Es geht darum zu helfen, und das Kenntnisniveau des FS kannst Du an der Frage erkennen.

Die e-Funktion ist anscheinend bekannt, und daher vermutlich (genau lesen bitte) auch der Verlauf und die Monotonie.

Die Potenzreihe ist vermutlich nicht bekannt.

Und zur Konstruktion mit dem max s.o.

Answer 3

Betrachte die Zahlenfolge

f_n := n e^n - 4n = n (e^n - 4).

Setze a_n := e^n - 4 und b_n := n.

Sei M > 0. Wähle N := Abrundung(ln(M)). Dann gilt für alle n > N die Ungleichung e^n > e^N = M.

Das zeigt lim e^n = inf, also auch lim a_n = inf.

Der Grenzwert lim b_n = inf ist klar. Also folgt auch lim f_n = inf und damit deine Aussage.

Comments

Betrachtest Du jetzt (nur) eine Folge und nicht den Funktionsgrenzwert?