Ja, da habt ihr beide recht mit Eurer Kritik. Ich formuliere es nochmal neu.
Wenn die Funktion \( f(x) = x e^x - 4x \) für \( x \to \infty \) den Grenzwert \( \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \) besitzen soll, dann muss man nachweisen das gilt:
Zu jedem \( M > 0 \) existiert ein \( x_0 > 0 \) s.d. für alle \( x\in\mathbb{D}_f > x_0 \) auch \( f(x) > M \) gilt.
Jetzt ist \( f(x) = x(e^x - 4) = x \left( 1 + x + \frac{x^2}{2} + \sum_{k=3}^\infty \frac{x^k}{k!} - 4 \right) \)
D.h. \( f(x) \ge x \left( 1 + x + \frac{x^2}{2} - 4 \right)\ge x\) falls \( x \ge 2 \) gilt.
D.h. für alle \( x > x_0 = \max(2,M) \) gilt
\( f(x) \ge x \ge M \)
Also gilt \( \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \)