Grenzwertverhalten der Funktion an der Stelle x = 0, f(x) = 1/(3^{1/x})

Question

Grenzwertverhalten der Funktion:

Man bestimme das Grenzwertverhalten der Funktion \( f(x) \) an der Stelle \( x=0 . \quad f(x)=\frac{1}{3^{\frac{1}{x}}} \)

Ich dachte mir, ich kann einfach für x z.B 1000000 große Zahl einsetzen, dann kommt 0,9999999 raus.

Comments

Du sollst das Verhalten der funktion f an der Stelle x = 0 untersuchen, nicht irgendwo im Unendlichen. Was macht nun der Exponent 1/x? Was macht dann 3^{1/x}? Und was mach schließlich 1/3^{1/x}?

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Genauso würde ich auch vorgehen.
Was in der Aufgabenstellung sprachlich nicht so exakt formuliert
wurde und du auch nicht berücksichtigst hast.
Es soll der links- und rechtsseitige Grenzwert ermittelt
werden. Beide.

Answer 1

Du sollst das Grenzverhalten für x = 0 erklären. Dann darf man hier nur etwas sehr kleines für x einsetzen.

f(x) = 1/3^{1/x} = 3^{-1/x}

Wir können Substituieren z = 1/x

f(z) = 3^{-z} und hier das Verhalten für z gegen Unendlich untersuchen.

Wenn z gegen unendlich geht geht der Term gegen 0. Das heißt für x -> 0+ geht der Term gegen 0

Wenn z gegen minus unendlich geht, geht der Term gegen unendlich. Das heißt für x -> 0- geht der Term gegen unendlich.

Skizze: