Flächeninhalt Dreieck Vektorgeometrie

Question

Aufgabe:

Der Punkt A(-2|3|\( \sqrt{12} \)) ist bezüglich des Koordinatenursprungs symmetrisch zum Punkt B. Die Punkte C(3r|2r|0) mit r∈ℝ bilden eine Gerade g, die im Koordinatenursprung senkrecht zur Gerade durch A und B steht. Bestimmen Sie alle Werte von r, für die A, B und Cr Eckpunkte eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt 65 sind.

Problem/Ansatz:

Mein Punkt B ist also B(2|-3|-\( \sqrt{12} \)). Den Flächeninhalt berechnet man doch mit entweder A=1/2×vektor(a)×vektor(b) oder 1/2×das Kreuzprodukte von vektor(a) und vektor(b). Ich komme aber einfach auf keine gescheite Lösung.

Answer 1

Mach dir eine Skizze, wie diese Dreiecke aussehen. Betrachte dabei nur die Ebene, in der alle Punkte liegen. Ansonsten würde ich hier direkt mit den Beträgen, also den Längen der Vektoren, rechnen.

|A| = √(2^2 + 3^2 + 12) = 5

|B| = √((3·r)^2 + (2·r)^2) = √13·|r|

Fläche

1/2·2·5·√13·|r| = 65 --> r = ± √13

Eines der Dreiecke sieht dann so aus

Comments

Ich verstehe nur nicht ganz, wie man auf die Vektoren a und b kommt. Ich hätte für den Vektor(a) einfach Vektor(AB) berechnet und für den Vektor(b) hätte ich Vektor(ACr) verwendet. Und damit dann mit den Beträgen gerechnet. Da kommen aber ganz blöde Zahlen raus, die ich auch ohne Taschenrechner kaum rechnen kann.

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Bei mir ist der Vektor A gleich mit dem Vektor OA.

Dein Vektor AB ist nur doppelt so lang wie mein Vektor A und in gegen gesetzter Richtung orientiert. Prüfe das doch zunächst einmal.

Da ich aber eh nur mit den Lägen der Vektoren rechne, interessiert mich hier die genaue Position von B nicht.

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Verstehe, habe ich damit dann aber nicht nur die Hälfte des Flächeninhalts, wie in der Abbildung markiert, berechnet bzw. 65 gesetzt?

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Oke moment, ich habs verstanden, vielen Dank

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Oke moment, ich habs verstanden, vielen Dank

Vermutlich hast du dann gerade gesehen, dass ich in die Formel für den Flächeninhalt noch den ominösen Faktor 2 benutzt habe. Eben weil |AB| = 2·|A| gilt.

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Ja das stimmt. Außerdem wusste ich irgendwie nicht genau, dass ich für den Flächeninhalt einfach die Höhe des Dreiecks, also OCr nehmen kann. Ich dachte, dass man immer am Rand entlang muss, also vom ganzen Dreieck dann entweder BCr oder ACr.

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Du solltest wissen das man nur alle 3 Seiten benötigt, wenn man den Umfang berechnen möchte. Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich über 1/2 * Grundseite * Höhe. Und da OCr hier einfach die Höhe des Dreiecks mit der Grundseite AB ist, ist das recht einfach zu berechnen. Wie gesagt empfehle ich vorher eine Skizze im Zweidimensionalen zu machen.

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Bei mir ist der Vektor A gleich mit dem Vektor OA.

@igesi: Das sollte man so keinesfalls aufschreiben, weil die Bezeichnung \(A\) der Punkt ist und kein Vektor. Entweder nutzt man konsequent die Schreibweise \(\overrightarrow{OA}\) für den Ortsvektor von \(A\) oder man schreibt stattdessen \(\vec{a}\).

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Ich halte mich dabei an die Formelsammlung in Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_analytische_Geometrie

So habe ich schon mehrere Tausend O's gespart. Weiterhin ist das rechnen mit Vektoren klarer, wenn man das O weglässt. Aber ich erwarte nicht, dass du das verstehst und anderer Meinung bist.

Übrigens werden im Ausland auch durchaus die Vektorpfeile weggelassen. Ich lasse sie nur weg, wenn ich nicht in Latex tippe.

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So, also konstruktive Kritik und es ist auch wieder nicht recht.

Ich halte mich dabei an die Formelsammlung in Wikipedia

Kann ich nicht erkennen.

Übrigens werden im Ausland auch durchaus die Vektorpfeile weggelassen.

Bezweifle ich. Quelle?

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@nudger: Wenn die Kritik gegen einen selbst gerichtet ist, ist sie offenbar nie recht.

So habe ich schon mehrere Tausend O's gespart. Weiterhin ist das rechnen mit Vektoren klarer, wenn man das O weglässt.

Es interessiert allerdings niemanden, ob DU (es geht hier noch immer nicht um dich!), dadurch tausende von O's gespart hast, es geht um korrekten mathematischen Formalismus. Was daran genau klarer sein soll, ist mir auch nicht begreiflich. Und ja, ich verstehe nicht, wieso man sich nicht an korrekte Notationen hält und damit unter Umständen für mehr Ärger sorgt als notwendig. Leider gibt es mehr als genug Lehrer, die derart rumschlampen.

Fakt ist: \(P\) ist ein Punkt und \(\vec{P}\) ist ein Vektor. Mit dieser Notation ließe sich noch arbeiten, hast du aber nicht benutzt. Damit hast du sicherlich auch schon tausende von Vektorpfeilen gespart. Ich bevorzuge dann aber dennoch die Schreibweise \(\vec{p}\), da Vektoren für gewöhnlich in Kleinbuchstaben geschrieben werden.

Übrigens werden im Ausland auch durchaus die Vektorpfeile weggelassen.

Das ist mir so nicht bekannt. Und wenn sie weggelassen werden, dann werden Vektoren für gewöhnlich in der Form \(\mathbf{p}\) anstelle von \(p\) geschrieben, um sie eindeutig von Skalaren zu unterscheiden. Aber auch das hast du nicht gemacht.

Answer 2

Kann man nicht einfach Grundlinie*Höhe/2 = 65 rechnen?

Die Grundlinie ist 10  also 5h=65, h=13 r*|(3,2,0)|= r\( \sqrt{13} \), r= 13/\( \sqrt{13} \)=\( \sqrt{13} \)

Answer 3

Wegen der Orthogonalität von \(g\) zur Geraden durch \(A\) und \(B\), bildet \(\overrightarrow{OC_r}\) die Höhe und \(\overrightarrow{AB}\) die Grundseite des Dreiecks. Aufgrund der Symmetrie von \(A\) und \(B\) zum Ursprung hat die Grundseite die Länge \(2|\overrightarrow{OA}|\).

Damit gilt \(A_{\triangle}=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OC_r}|=65\).

Man braucht hier also kein Vektorprodukt.

Eine Skizze, um sich die Situation zu verdeutlichen, ist bei solchen Aufgaben immer hilfreich. Die muss auch nicht dreidimensional sein.