Berechnen Sie den notwendigen Stichprobenumfang, um die Höhe mit einer Genauigkeit von ±0.6 m angeben zu können.

Question

Aufgabe:

Bei einer Feldaufnahme wurde die Höhe [m] einer Fichte mit dem Spiegelrelaskop 10-mal bestimmt. Die daraus berechnete Standardabweichung beträgt ±1.9 m. Berechnen Sie den notwendigen Stichprobenumfang, um die Höhe mit einer Genauigkeit von ±0.6 m angeben zu können. Irrtumswahrscheinlichkeit = 5 %

Berechnen Sie folgenden Wert [Ergebnis in ganzen Zahlen]:
Stichprobenumfang:

Answer 1

$$n = \left( \frac{z \cdot \sigma}{E} \right)^2 = \left( \frac{1.96 \cdot 1.9}{0.6} \right)^2 = 38.52$$

Der Stichpobenumfang müsste 39 betragen.

Comments

Vielen Dank....Hab das quadrieren in der Formel im Unterricht nicht mitgeschrieben.

Answer 2

Da man hier keine vorgegebene Varianz hat, sondern nur eine empirische Varianz, also eine aus den Stichprobenwerten errechnete Varianz, kann man hier nicht die Normalverteilung für die Berechnung der Konfidenzintervalllänge benutzen, sondern man muss die Studentsche t-Verteilung nehmen. Das ergibt aber die Schwierigkeit, das man folgende Gleichung lösen muss

$$ L = 2 \cdot \frac{c}{\sqrt{n}} \cdot \sigma $$ wobei man hier nicht \( c = 1.96 \) wählen kann, sondern es gilt

$$ c = F^{-1}\left[ \frac{1}{2} ( 1 + \gamma) \right] $$ mit \( \gamma = 0.95 \) und \( F() \) ist die t-Verteilungsfunktion.

Das so berechnete \( c \) ist aber wiederum eine Funktion von \( n \), s.d. die zu lösende Gleichung nur iterativ gelöst werdenh kann.

Die Lösung der Gleichung \( L = 2 \cdot \frac{c}{\sqrt{n}} \cdot \sigma \) ist jetzt $$ n = 40.963 $$

Also muss die Stichprobengröße \( n = 41 \) sein um die gewünschte Genauigkeit zu erhalten.