Man zahlt 18 mal jährlich vorschüssig eine noch zu bestimmende Rate \( r \) ein mit einer jährlichen Steigerung der Rate von \( g \) Prozent. Der Endwert dieser Zahlungen ist das Kapital \( K \), also
$$ K = r q^n + r q^{n-1} (1+g) + q^{n-2} (1+g)^2 + \cdots + r q (1+g)^{n-1} = r \sum_{k=0}^{n-1} q^{k+1} (1+g)^{n-(k+1)} $$
wobei \( q = 1.02 \) der Zinsfaktor ist und \( g = 0.002 \) die jährliche Steigerungsrate.
Diesem Kapital \( K \) wird nun jährlich vorschüssig ein Betrag von \( R = 18'000 \) EUR entnommen, unter der Bedingung, dass nach der jährlichen Verzinsung das Kapital sich nicht verändert hat.
$$ (K - R) \cdot q = K $$
D.h. das notwendige Kapital berechnet sich zu $$ (1) \quad K = R \cdot \frac{q}{q - 1} = 918'000 \text{ EUR} $$
Den Ausdruck für \( K \) kann man als geometrische Reihe schreiben und die Formel für die geometrische Reihe anwenden, dann ergibt sich nach ein paar Vereinfachungen
$$ K = r (1+g)^n \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{q}{1+g} \right)^{k+1} = r (1+g)^n \frac{q}{1+g} \frac{\left( \frac{q}{1+g} \right)^n -1}{\frac{q}{1+g} - 1} = r q \frac{ q^n - (1+g)^n }{ q- (1+g) } $$
Daraus folgt aus (1)
$$ r = \frac{R}{q-1} \frac{q -(1+g)}{q^n - (1+g)^n} $$
Einsetzen der Werte ergibt
$$ r = 41'365.82 \text{ EUR} $$
Für diesem Beitrag im Forum https://www.mathelounge.de/1101457/hoch-muss-heutige-ansparzahlung-sein-damit-ziel-erreichen ergibt sich mit obiger Formel auch der Betrag, der dort als Lösung angegeben wurde.
