$$\text{Hallo,}\newline\text{ich habe eine Frage zum Ende des Beweises.}\newline\text{Es geht um das Cauchy-Produkt von}\newline\text{Reihen. Die einzelnen Schritte konnte}\newline\text{ich soweit nachvollziehen. Meine Frage}\newline\text{ist farblich hervorgehoben. Danke im Voraus.}\newline\text{Es seien}\,\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_n\,und\,\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n\newline \text{absolut konvergente Reihen.}\newline\text{Für }n\,\in\,\mathbb{N}\text{ werde definiert}\newline c_n\,\coloneqq\,\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kb_{n-k}\,=\,a_0b_n\,+\,a_1b_{n-1}\,+\,...\,+\,a_nb_0.\newline\text{Dann ist auch die Reihe}\,\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n\,\text{absolut konvergent mit}\newline\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n\,=\,\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\right)\,\cdot\,\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n\right).\newline\text{Beweis. Die Definition des Koeffizienten }c_n\text{ lässt sich auch so schreiben:}\newline c_n\,=\,\sum\limits_{}^{}c_n\,=\,\sum\{a_kb_l\,:\,k\,+\,l\,=\,n\}.\newline\text{Es wird dabei über alle Indexpaare (k,l) summiert, die in }\mathbb{N}×\mathbb{N}\text{ auf der Diagonalen k + l = n liegen.}\newline\text{ Deshalb gilt für die Partialsumme}\newline C_n\,\coloneqq\,\sum\limits_{n=0}^{N}c_n\,=\,\sum\{a_kb_l\,:\,(k,l)\,\in\,\Delta_N\},\newline\text{wobei }\Delta_N\text{ das wie folgt definierte Dreieck in }\mathbb{N}×\mathbb{N}\text{ ist:}\newline\Delta_N\,\coloneqq\,\{(k,l)\,\in\,\mathbb{N}×\mathbb{N}\,: k+l \leq N\}\newline\text{Multiplizieren wir die Partialsummen}\newline A_N \coloneqq \sum\limits_{n=0}^{N}a_n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{und}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B_N\coloneqq\sum\limits_{n=0}^{N}b_n\newline\text{aus, erhalten wir als Produkt}\newline A_NB_N = \sum\{a_kb_l:(k,l) \in Q_N\},\newline\text{wobei }Q_N\text{ das Quadrat}\newline Q_N \coloneqq \{ (k, l) \in \mathbb{N}×\mathbb{N}: 0 \leq k \leq N, \, 0 \leq l \leq N\}\newline\text{bezeichnet. Da }\Delta_N \subsetneq Q_N, \text{ können wir schreiben}\newline A_NB_N - C_N = \sum\{a_kb_l:(k,l) \in Q_N \text{\textbackslash}\Delta_N\}.\newline\text{Für die Partialsummen}\newline A_N^* \coloneqq \sum\limits_{n=0}^{N}\mid{a_n}\mid,\,\,\,\,B_N^* \coloneqq \sum\limits_{n=0}^{N}\mid{b_n}\mid\newline\text{erhält man wie oben}\newline A_N^*B_N^* = \sum\{\mid a_k\mid\mid b_l \mid : (k,l) \in Q_N\}.\newline \text{Da } Q_{\lfloor N/2 \rfloor} \subsetneq \Delta_N, \text{ folgt }Q_N \text{\textbackslash}\Delta_N \subsetneq Q_N \text{\textbackslash}Q_{\lfloor N/2 \rfloor}, \text{ also}\newline\mid A_NB_N - C_N\mid \leq \sum\{\mid a_k \mid \mid b_l\mid:(k,l) \in Q_N \text{\textbackslash}Q_{\lfloor N/2 \rfloor}\}\newline= A_N^*B_N^* - A_{\lfloor N/2 \rfloor}^*B_{\lfloor N/2 \rfloor}^*.\newline\text{Da die Folge }(A_N^*B_N^*)\text{ konvergiert, also eine Cauchy-Folge ist, strebt die letzte Differenz für N }\to \infty\text{ gegen 0, d.h.}\newline\textcolor{red}{Woher\,wissen\,wir\, denn,\,dass\,die\,Folge\,konvergiert\,bzw.\,aus\,welcher\,Voraussetzung\,folgt\,das?}\newline\lim\limits_{N\to\infty}C_N = \lim\limits_{N\to\infty}A_NB_N = \lim\limits_{N\to\infty}A_N\,\lim\limits_{N\to\infty}B_N.$$
