2 Funktionen einzeichen und Schnittpunkt/e von den 2 Linien ablesen

Question

ich habe 2 Funktionen, ich glaube es müssten 2 quadratische sein, also die erste ist auf jeden

Fall eine und die 2te weiß ich nicht so genau, weil wir das grade als Thema haben

f) x² - 5x + 2,25 = 0

g) x - 4,5

von f habe ich den Scheitelpunkt und die Nullstellen berechnet:

S( 2,5 | - 4)

x1 = 4,5
x2 = 0,5

von g habe ich die Nullstelle

x = 4,5

da musste man ja einfach nur (x - 4,5)² = 0 schreiben, stimmts? und dann 4,5 für 0 einsetzen.

Wie kann ich die jetzt einzeichnen? Bei f kann ich ja einen Punkt bei 2,5 auf der x-achse machen welcher

gleichzeitig bei der -4 bei der y-achse liegt und dann die parabel an den punkt ansetzen, stimmts?

aber wie mache ich das bei g wenn ich nur eine nullstelle habe? oder kann man da auch den scheitelpunkt berechnen? ich habe ja kein P und Q bzw. weiß eben nicht mal was das für eine Gleichung ist

Und den Schnittpunkt muss ich dann ablesen bzw. berechnen, ich denke mal ablesen. Gibt es immer 1

Schnittpunkt oder mehrere? Das ist doch wo die 2 sich kreuzen, oder?

Vielen Dank wenn mir jemand hier helfen kann :(

Comments

In der Fragestellung sind eine Menge Unklarheiten

f) x² - 5x + 2,25 = 0

Dies ist keine Funktion sondern eine Gleichung. Eine Funktion wäre

f ( x ) = x^2 - 5x  + 2.25

g) x - 4,5

Dies ist ein Term. Aber kein quadratischer. Möglich wäre

g ( x ) = x - 4.5

Bevor wir loslegen können brauchen wir die richtigen
Funktionen. Sonst hat es keinen Sinn.

mfg Georg

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Das sind die 2 richtigen


f) x²- 5x + 2,25 = 0

g) x - 4,5

Answer 1

Du hast also zwei Funktionen, nämlich

f ( x ) = x ² - 5 x + 2,25 und  g ( x ) = x - 4,5

f ( x ) ist eine quadratische Funktion (so nennt man Funktionen, in denen der größte auftretende Exponent der Variablen die 2 ist).
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.
Eine Parabel hat entweder keine, eine oder zwei Nullstellen
Eine Parabel hat immer genau einen Scheitelpunkt.

g ( x ) ist keine quadratische Funktion (der größte auftretende Exponent der Variablen ist nicht 2)
Statt dessen ist g ( x ) eine lineare Funktion (so nennt man Funktionen, in denen der größte auftretende Exponent der Variablen die 1 ist).
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
Eine Gerade, deren Steigung von Null verschieden ist (die Steigung von g ( x ) ist 1) hat immer genau eine Nullstelle.
Eine Gerade hat keinen Scheitelpunkt.

 

Nullstellen von f ( x ):

x ² - 5 x + 2,25 = 0

<=> x ² - 5 x = - 2,25

Quadratische Ergänzung bestimmen und auf beiden Seiten addieren:

<=> x ² - 5 x + 2,5 ² = - 2,25 + 2,5 ²

Linke Seite mit Hilfe der zweiten binomischen Formel als Quadrat schreiben, rechte Seite zusammenfassen:

<=> ( x - 2,5 ) ² = 4

Wurzel ziehen:

<=> x - 2,5 = ± 2

<=> x = 2,5 ± 2

=> x = 0,5 oder x = 4,5

 

Scheitelpunkt von f ( x ):

Da f ( x ) zwei Nullstellen hat, ist die Bestimmung der Scheitelpunktstelle xs sehr einfach: Sie liegt wegen der Symmetrie einer Parabel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, also:

xs = ( 0,5 + 4,5 ) / 2 = 2,5

Die y-Koordinate des Scheitelpunktes ergibt sich durch Einsetzen von xs in den Funktionsterm:

ys = f ( xs ) = xs ² - 5 xs + 2,25

= 2,5 ² - 5 * 2,5 + 2,25 = - 4

Anmerkungen:
- Wenn die Funktion nur eine Nullstelle hat, dann ist diese auch gleichzeitig die Scheitelpunktstelle.
- Wenn die Funktion keine Nullstelle hat, mus man den Scheitelpunkt anders bestimmen, z. B: durch Umformung des Funktionsterms in die Scheitelpunktform.

 

Nullstelle von g ( x )

x - 4,5 = 0

<=> x = 4,5

Eine Gerade, deren Steigung von Null verschieden ist (die Steigung von g ( x ) ist 1) hat immer genau eine Nullstelle.

 

Zeichnen der Funktionsgraphen:

f ( x ) :

Wenn du eine Zeichenschablone für eine Normalparabel hast, dann kannst du deren Scheitelpunkt im Scheitelpunkt S ( 2,5 | - 4 ) ansetzen. Zeichne aber vorher auch die Nullstellen von f ( x ) ein und achte darauf, dass der Rand der Schablone auch durch diese Nullstellen geht.

g ( x ):

Da der Graph von g ( x ) eine Gerade ist, benötigst du nur zwei Punkte, deren Koordinaten die Funktionsgleichung von g ( x ) erfüllen. Einen davon kennst du schon, nämlich die Nullstelle ( 4,5 | 0 ). Den zweiten erhältst du, wenn du einen anderen Wert als x = 4,5 in die Funktonsgleichung g ( x ) = x - 4,5 einsetzt, z.B. x = 0. Damit ergibt sich:

y = g ( 0 ) = 0 - 4,5 = - 4,5

Der zweite Punkt hat also die Koordinaten ( 0 | - 4,5 )

Zeichne nun beide Punkte in das Koordinatensystem ein und zeichne mit dem Lineal eine Gerade durch diese Punkte. Diese Gerade ist der Graph von g ( x ).

 

Schnittpunkte von f ( x ) und g ( x )

Eine Parabel und eine Gerade können keinen, einen oder zwei Schnittpunkte haben.
Man findet die Schnittpunkte, indem man die Funktionsterme gleichsetzt und diese Gleichung nach x auflöst, also:

x ² - 5 x + 2,25 = x - 4,5

<=> x ² - 6 x = - 6,75

<=> x ² - 6 x + 3 ² = - 6,75 + 3 ²

<=> ( x - 3 ) ² = 2,25

<=> x - 3 = ± √ 2,25 = ± 1,5

<=> x = 3 ± 1,5

<=> x₁ = 1,5 oder x₂ = 4,5

f ( x ) und g ( x ) haben als zwei Schnittpunkte, nämlich bei x₁ = 1,5 und bei x₂ = 4,5. 

Die y-Koordinaten der Schnittpunkte findet man durch Einsetzen der x-Koordinaten in eine der beiden Funktionsgleichungen. Welche man nimmt, ist egal, denn die Schnittpunkte zeichnen sich ja gerade dadurch aus, dass sie zu beiden Funktionsgraphen gehören, ihre Koordinaten also beide Funktionsgleichungen erfüllen. Man nimmt daher natürlich die einfacher zu berechnende Funktion, also g ( x ). Damit ergibt sich:

y₁ = g ( x₁ ) = g ( 1,5 ) = 1,5 - 4,5 = - 3

y₂ = g ( x₂ ) = g ( 4,5 ) = 4,5 - 4,5 = 0

Die Schnittpunkte von f ( x ) sind also:

P₁ ( 1,5 | - 3 ) und P₂ ( 4,5 | 0 )

Der zweite Schnittpunkt ist gleichzeitig die Nullstelle von g ( x ).

 

Hier noch ein Schaubild der Graphen von f ( x ) und g ( x ), an dem man die Ergebnisse überprüfen kann: 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2-5x%2B2.25%2Cx-4.5+from+0+to+5

Comments

für einen "Matheschwächling" wie mich eine ausgezeichnete Beantwortung der Frage; großen Dank!

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Vielen Dank für das Lob :-)

Ich freue mich, dass es mir offenbar gelungen ist, den Sachverhalt verständlich zu formulieren, so dass ich dir damit helfen konnte, auch wenn du wohl nicht der Fragesteller bist ... ?