Schnittpunkt von 2 Linien bestimmen

Question

Hallo,
die Schulzeit liegt schon etwas zurück und irgendwie komme ich gerade nicht weiter.. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen..
Ich habe 2 Linien.

Linie A definiert durch die Punkte A(2|0) und B(2|3) und

Linie B definiert durch die Punkte C(1|1) und D(4|1)

Nun möchte ich herausfinden, ob sich die beiden Linien schneiden. Der genaue Schnittpunkt ist eigentlich gar nicht wichtig.

Problem ist nur, die Steigung der beiden ist ja 0. Und ab da weiß ich nich mehr weiter.. Hab da entweder ein dickes Brett gerade vorm Kopf oder bin schlicht zu doof. Aber mit Geradengleichungen aufstellen und anschließend Gleichsetzen kommt man da ja nicht weiter oder?

Answer 1

Hallo,

Aber mit Geradengleichungen aufstellen und anschließend Gleichsetzen kommt man da ja nicht weiter oder?

Das gibt es nicht mehr viel gleichzusetzen.

1. Gerade x = 2

2. Gerade y = 1

Das sind schon die Koordinaten des Schnittpunktes.

Gruß, Silvia

Comments

Sehr schön gelöst.
mfg Georg

Answer 2

Linie A definiert durch die Punkte A(2|0) und B(2|3)

(1)        x = 2 + r·(2-2)

(2)        y = 0 + r·(3-0)

Linie B definiert durch die Punkte C(1|1) und D(4|1)

(3)        x = 1 + s·(4 - 1)

(4)        y = 1 + s·(1 - 1)

Nun möchte ich herausfinden, ob sich die beiden Linien schneiden.

(1) und (3) gleichsetzen ergibt

(5)        2 + r·(2-2) = 1 + s·(4 - 1).

(2) und (4) gleichsetzen ergibt

(6)        0 + r·(3-0) = 1 + s·(1 - 1).

Jetzt das Gleichungssystem (5), (6) lösen. Gleichung (5) lässt sich vereinfachen zu

        2 = 1 + 3s

also

        s = 1/3

Gleichung (6) lässt sich vereinfachen zu

        3r = 1,

also

        r = 1/3.

Weil das Gleichungssystem eine Lösung hat, schneiden sich die Geraden A und B.

Weil 0 < r und r < 1 ist, liegt der Schnittpunkt zwischen den Punkten A und B.

Weil 0 < s und s < 1 ist, liegt der Schnittpunkt zwischen den Punkten C und D.

Den Schnittpunkt bekommst du indem du den Wert für r in (1) und (2) einsetzt und indem du den Wert für s in (3) und (4) einsetzt.

Answer 3

Man kann die Strecken mithilfe der analytischen Geometrie aufstellen

Linie A definiert durch die Punkte A(2|0) und B(2|3) und
Linie B definiert durch die Punkte C(1|1) und D(4|1)

a: X = [2, 0] + r·[0, 3]
b: X = [1, 1] + s·[3, 0]

Jetzt setzt man die Parametergleichungen der Strecken gleich

[2, 0] + r·[0, 3] = [1, 1] + s·[3, 0]

Das ist jetzt ein lineares Gleichungssystem

2 + 0r = 1 + 3s
0 + 3r = 1 + 0s

Wenn ich das Gleichungssystem löse, erhalte ich r = 1/3 ∧ s = 1/3

Da jetzt beide Parameter im Bereich von 0 bis 1 sind schneiden sich die Strecken. Wenn ich r oder s einsetze erhalte ich auch den Schnittpunkt

S = [2, 0] + r·[0, 3] = [2, 0] + 1/3·[0, 3] = [2, 1]

Answer 4

$$AB=(0|3)$$$$CD=(3|0)$$

Ja, sie schneiden sich, da für alle t

$$AB≠t *CD$$

, verlaufen sie nicht parallel.