Finden Sie eine partikuläre Lösung der inhomogenen Wellengleichung

Question

Superpositionsprinzip

Finden Sie eine partikuläre Lösung der inhomogenen Wellengleichung

\(u_{tt} - 4u_{xx} = \sin^2(t) + \tan^2(x) \)

mithilfe des Superpositionsprinzips. Geben Sie die allgemeine Lösung der Wellengleichung an.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht genau wie ich den Superpositionsprinzip in dieser Aufgabe anwenden soll. Kann also das mit der Homogenen verstehe ich noch

\(u_{tt} - 4u_{xx} = \sin^2(t) + \tan^2(x)\)

\( u_{tt} - 4u_{xx} = 0\)

Aber ich verstehe das halt nicht mit dem Superpositionsprinzip:(

Kann wer helfen?

Comments

Gemeint ist vermutlich, die gegebene Gleichung einmal mit der rechten Seite sin²(t) und einmal mit der rechten Seite tan²(x) zu lösen (also zwei partikuläre Lösungen zu finden, beachte das die beiden Ausdrücke rechts nur jeweils von einer Variablen abhängen) und dann diese beiden Lösungen zu der homogenen Lösung zu addieren, um die allgemeine Lösung zu finden.

Answer 1

Hallo Lennart. Ich schlage vor, dass wir vor der Lösung der inhomogenen Wellengleichung erst mal die homogene lösen. Das geht so:

\( u_{t t}-4u_{x x}=0 \quad u(x, t)=X(x) \cdot T(t) \quad \) Separationsansatz
\( T_{t t} X-4 X_{x x} T=0 \quad \frac{T_{t t}}{T}=4 \frac{X_{x x}}{X}=\text { const }_{t x}=\lambda \)
\( \frac{\partial^{2} T}{\partial t^{2}} \frac{1}{T}=\lambda \quad T_{t t}=\lambda T \quad \) Exp.ansatz \( \quad T=c_{1} e^{c_{2} t} \)

Jetzt mach du bitte weiter.

Comments

Hmmm, 6 Tage ohne Antwort. Das bedeutet dann wahrscheinlich, dass du nicht weiter interessiert bist.