Schnittwinkel zwischen Ellipse und Hyperbel berechnen

Question

ich habe zu hause eine Hausaufgabe gemacht und bin mir nicht sicher ob diese Antwort stimmt:

Wie groß ist der Schnittwinkel zwischen der ell.: 9x^2 + 25y^2 =225 und der hyp.: 4x^2 - 12y^2 = 48

bei mir kommt 90° raus aber bei meinem Computerprogramm zum Graphen zeichnen kommt etwa 100° raus, ich weiß aber nicht wie ichs anders rechnen könnte

Answer 1

9·x^2 + 25·y^2 = 225
y = 3·√(25 - x^2)/5

4·x^2 - 12·y^2 = 48
y = √3·√(x^2 - 12)/3

Schnittpunkt

3·√(25 - x^2)/5 = √3·√(x^2 - 12)/3
x = 5·√3/2

Ableitungen

y'(5·√3/2) = - 3·x/(5·√(25 - x^2)) = - 3·√3/5
y'(5·√3/2) = √3·x/(3·√(x^2 - 12)) = 5·√3/9

α = arctan(- 3·√3/5) - arctan(5·√3/9) = -90

Skizze

Sowohl das Bild als auch die Rechnung sprechen für einen Winkel von 90 Grad.

Answer 2

Wie groß ist der Schnittwinkel zwischen der ell.: \(9x^2 + 25y^2 =225\) und der hyp.: \(4x^2 - 12y^2 = 48\)

Schnittpunkt:

\(x^2 -3y^2 =12 \) →  \(x^2 =12+3y^2 \)  in  \(9x^2 + 25y^2 =225\) einsetzen:

\(9(12+3y^2) + 25y^2 =225\)   

\(y=1,5\) →  \(x^2 =12+3\cdot 2,25 \)   

\(x≈4,33 \)   Die 3 weiteren Schnittpunkte bleiben unberücksichtigt, weil kein Mehrwert. Warum das so ist, darfst du überlegen.

S\((4,33|1,5)\)

Tangentensteigungen mit impliziter Differenzierung:

\(e(x,y)=9x^2 + 25y^2 -225\)

\(e_x(x,y)=18x\)

\(e_y(x,y)= 50y\)

\(e'(x)=- \frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{9x}{25y}\)

\(e'(4,33)=-\frac{9\cdot 4,33}{25\cdot 1,5}=-1,0392\)

\(h(x,y)=x^2 -3y^2 -12\)

\(h_x(x,y)=2x\)

\(h_y(x,y)=-6y\)

\(h'(x)=-\frac{2x}{-6y}=\frac{x}{3y}\)

\(h'(4,33)=\frac{4,33}{3\cdot1,5}=0,96\)

\([-\frac{9\cdot 4.33}{25\cdot 1.5}]\cdot [\frac{4.33}{3\cdot1.5}≈-1]\)

Somit ist der Schnittwinkel \(90°\)

Comments

x≈4,33

Und dann erblödet sich dieser Scharlatan, diesen unsäglichen Näherungswert weiter zu verwenden, dann folgende Näherungswerte und letztendlich einen Näherungswert ≈ -1 zu erhalten, was höchstens auf ungefähr 90° führt.
Ich markiere das mal als Spam.

---

Daher empfehle ich grundsätzlich die Verwendung von Brüchen

Damit ist es hier nicht getan. Man benötigt Wurzeln.

---

So rabiat geht man nicht mit Helfern um!

Nochmal für dich zum Mitschreiben:

Der Begriff "Helfer" ist bereits besetzt. Es ist anmaßend von dir, den Begriff auf dich selbst anzuwenden.

---

Wie groß ist der Schnittwinkel zwischen der ell.: \(9x^2 + 25y^2 =225\) und der hyp.: \(4x^2 - 12y^2 = 48\)

Verbesserung:

Schnittpunkt:\(x^2 -3y^2 =12 \) →  \(x^2 =12+3y^2 \)  in  \(9x^2 + 25y^2 =225\) einsetzen:

\(9(12+3y^2) + 25y^2 =225\)   \(y=1,5\) →  \(x^2 =12+3\cdot 2,25 =18,75 \)

  Die 3 weiteren Schnittpunkte bleiben unberücksichtigt, weil kein Mehrwert. Warum das so ist, darfst du überlegen.

S\((\sqrt{18,75}|1,5)\)

Tangentensteigungen mit impliziter Differenzierung:

\(e(x,y)=9x^2 + 25y^2 -225\)

\(e_x(x,y)=18x\)

\(e_y(x,y)= 50y\)

\(e'(x)=- \frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{9x}{25y}\)

\(e'(\sqrt{18,75})=-\frac{9 \cdot \sqrt{18,75} }{25\cdot 1,5}\)

\(e'(\sqrt{18,75})=-\frac{9 \cdot \sqrt{18,75} }{37,5}\)

\(h(x,y)=x^2 -3y^2 -12\)

\(h_x(x,y)=2x\)

\(h_y(x,y)=-6y\)

\(h'(x)=-\frac{2x}{-6y}=\frac{x}{3y}\)

\(h'(\sqrt{18,75})=\frac{\sqrt{18,75}}{4,5}\)

\( [-\frac{9 \cdot \sqrt{18,75} }{37,5} ]\cdot [\frac{\sqrt{18,75}}{4,5}] =-1 \)

Somit stehen die Tangenten senkrecht aufeinander.

---

Die Gleichung der Tangente an \(9x^2 + 25y^2 =225\) im Punkt S\((\sqrt{18,75}|1,5)\) ist

\(9x\cdot \sqrt{18,75} + 25y\cdot 1,5 =225\).
Der Tangentenanstieg ist also \(\frac{-9\cdot\sqrt{18,75}}{37,5}\)

Die Gleichung der Tangente an \(4x^2 -12y^2 =48\) im Punkt S\((\sqrt{18,75}|1,5)\) ist
\(4x\cdot \sqrt{18,75} - 12y\cdot 1,5 =48\).

Der Tangentenanstieg ist also \(\frac{4\cdot\sqrt{18,75}}{18}\).

Es gilt \(\frac{-9\cdot\sqrt{18,75}}{37,5}\cdot \frac{4\cdot\sqrt{18,75}}{18}=-1\).

---

Ich sehe da wirklich keine Verbesserung gegenüber meiner Rechnung, die vor 10 Jahren entstanden ist. Ich bin ja alternativen Rechnungen aufgeschlossen gegenüber. Allerdings sollen sie dann auch einfacher oder verständlicher sein. Das trifft wohl auf keine deiner jemals veröffentlichten Alternativvorschläge zu.

---

Einfacher sind sie auch grundsätzlich nicht. Zumindest werden hier keine Dinge wiederholt, die andere schon gesagt haben.

Verständlicher sind sie meistens auch nicht, da sie das Niveau des FS in der Regel übersteigen. Wenn man beim Thema Parabeln dann mit der Ableitung kommt, ... nunja. Ich weiß nicht, wie sinnvoll das ist.

Und hinzukommt - das wurde ja von Unknown bereits angesprochen - welchen Zweck oder Mehrwert hat es, derartige Fragen noch mit alternativen Antworten zu füttern, wenn diese schon geklärt wurden und auch eine beste Antwort haben? Da sollte man sich dann lieber auf unbeantwortete Fragen stürzen.

---

und auch eine beste Antwort haben

Was heißt das schon? In der Antwort von MC stehen unter dem Stichwort "Ableitungen" 2 Gleichungen. Die linken Seiten sind identisch, die rechten nicht. (ich brauche nicht belehrt werden, was MC meinte.) Das halte ich für kritikwürdig.

---

Das kann man ja dann kommentieren. Dafür braucht es aber nicht zwangsläufig eine neue Antwort. Aber du hast natürlich Recht, eine beste Antwort heißt nichts.

---

Ich finde das Verhalten von abacus gegenüber Moliets
auch reichlich beleidigend und großkotzig.
Aber was solls es ist ja schon tausendmal gesagt worden.
An Moliets " Einfach nicht mehr auf abacus reagieren "
Irgendwann wird er dann wohl aufhören .

mfg Georg

---

Wenn man beim Thema Parabeln dann mit der Ableitung kommt, ... nun ja. Ich weiß nicht, wie sinnvoll das ist.

Insofern sinnvoll: ich denke da an die üblichen Kurvendiskussionen, welche Nullstellen, Extremwerte, Art der Extrema ,Wendepunkte u.s.w. beinhalten. Gewöhnlich fängt man ja bei der Nullstellensuche an. Das dauert je nach Schwierigkeit dementsprechend lange. Da Extrema ja auch gefordert sind, wäre es doch angebracht, diese Untersuchung vorzuziehen, vielleicht ist da ja sogar eine doppelte Nullstelle dabei. Bei der Suche nach Wendepunkten ist dann vielleicht auch noch eine Dreifachnullstelle dabei. Wie schade, wenn man dann am Anfang bei der Nullstellensuche unnötig Zeit verloren hätte....

---

Das hast du falsch verstanden, aber lassen wir das.

---

Ich habe mal die herabwertenden und teilweise beleidigenden Kommentare von abacus oder Apfelmännchen, die keine fachlichen Inhalte haben, ausgeblendet.

---

Das trifft wohl auf keine deiner jemals veröffentlichten Alternativvorschläge zu.

@Der_Mathecoach:

Kannst du das mit einigen Beispielen belegen?