Zeigen, wie eine Folge konvergiert. x_n+1 :=1/2(x_n + c/x_n)

Question

Aufgabe:

Es sei \( c>0 \) gegeben. Für einen beliebigen Startwert \( x_{0}>0 \) wird durch
$$ x_{n+1}:=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{c}{x_{n}}\right) $$
rekursive eine Folge definiert. Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und dass für den Grenzwert \( x:=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \) die Gleichung \( x^{2}=c \) gilt. Nutzen Sie ohne Beweis, dass \( \forall a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a, b>0 \) gilt:
$$ a \leq b \Rightarrow a \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \leq b $$

Comments

Wenn die Folge konvergiert, ändert sich der Wert von einem zum nächsten Folgenglied irgendwann nicht mehr.

D.h. statt x_n+1 :=1/2(x_n + c/x_n)

gilt dann einfach

x = 1/2 ( x + c/x)     |*2

2x = x + c/x

x = c/x

x^2 = c. Diesen Teil hätten wir also schon mal.

Jetzt musst du aber noch zeigen, dass die Folge tatsächlich konvergiert.

Answer 1

(1) Ein einfacher Induktionsbeweis zeigt, dass \(x_n>0\) für alle \(n\geq0\) gilt.
(2) Die Folge ist für \(n>0\) durch \(\sqrt c\) nach unten beschränkt:$$x_{n+1}^2-c=\frac14\left(x_n+\frac c{x_n}\right)^2-c=\frac14\left(x_n-\frac c{x_n}\right)^2\geq0.$$(3) Die Folge ist für \(n>0\) monoton fallend:$$x_{n+1}-x_n=\frac12\left(x_n+\frac c{x_n}\right)-x_n=\frac12\left(\frac c{x_n}-x_n\right)=\frac{c-x_n^2}{2x_n}\leq0.$$(4) Aus (2) und (3) folgt, dass die Folge konvergiert. Der Grenzwert \(x\) berechnet sich aus \(x=\frac12\left(x+\frac cx\right)\), woraus \(x^2=c\) folgt.