Exponentialfunktion: Population einer aussterbenden Echsenart analysieren

Question

In Südamerika ist eine bestimmte Echsenart von Aussterben betroht. Die Population hat sich in den vergangenen Jahren zurück entwickelt.(in Tausend)Der starke Rücklauf bis zum Zeitpunkt 3 kann durch die Funktion
F(x)=-0,22x^2+5,4 dargestellt werden.Ab dem Zeitpunkt 3 kann der Rückgang abgeschwächt werden. Diese Phase ist durch die Funktion g(x)=10*0,7^x beschrieben werden.
a) berechnen Sie die Anzahl der Tiere zum Zeitpunkt 3
b) berechnen Sie den genauen Zeitpunkt an dem die Zahl 1000 unterschreitet.
c) wie viele Tiere gibt es noch zum Zeitpunkt 10?
d) wann wäre die Tierart ausgestorben, wenn sich der Prozess zwischen dem Zeitpunkt 0 dem Zeitpunkt 3 so weiter fortgesetzt hätte?

wie muss ich da vorgehen?

Answer 1

x - Zeit

F(x) bzw. g(x) - Anzahl der Tiere (in Tausend)

F(x) ist nur bis t = 3 gültig, danach gilt g(x)

Je nachdem welche Zeit hier gefragt ist, muss man entweder F(x) oder g(x) nehmen, obwohl bei t=3 bestimmt ein "unscharfer Überlappungsbereich" existiert

Also, wenn wir in F(x) oder g(x) eine Zeit einsetzen bekommen wir die Anzahl der Tiere in Tausend und gekehrt, wenn man die Anzahl der Tiere (ohne 1000) vorgibt, erhält man die Zeit.

Erstmal würde ich die Ränder der Zeit untersuchen, um ein Gefühl für das Ganze zu bekommen:

- Zeit ist Null: Hier gilt F(x) oder besser gesagt F(f) -> F(t =0) = -0,22*0²+5,4 =5,4 -> 5400 Tiere

- Zeit gegen Unendlich: Hier gilt g(x) oder g(t) -> g(t -> oo) und 10*0,7⁰⁰ -> 0  -> 0 Tiere (irgendwann endet alles mal)

Das Ganze hat also abnehmenden Charakter.

 

zu a)

Da bis zum Zeitpunkt 3 offenbar F(x) noch gerade so gilt, setzen wir 3 in F(x) ein -> F(3) = -0,22*3²+5,4 = 3,42 -> 3420 Tiere

zu b)

Da bei t = 3 3420 Tiere vorliegen, werden 1000 Tiere bei t > 3 vorhanden sein, also gilt hier g(x)

g(x) = 10*0,7^x = 1 (hier deshalb nur eine 1, weil g(x) eine Zahl auswirft, die mit 1000 multipliziert werden muss, um die Anzahl der Tiere zu erhalten)

10*0,7^x = 1 | :10

0,7^x = 0,1   | log zur Basis 0,7 auf beiden Seiten

log_0,7 (0,7^x) = log_0,7(0,1)

x = log_0,7(0,1) ~ 6,5

zu c)

Für t = 10 gilt wieder g(x) - > g(10) = 10*0,7¹⁰ ~ 0,2824 -> 282 Tiere

zu d) hier gilt F(x)

Keine Tiere mehr da -> F(x) = 0

F(x) =-0,22x²+5,4 = 0 -> x2 = -5,4/(-0,22) = 24,54 -> x_1/2 = ± √24,54 = ± 4,95

Da die Zeit nicht negativ ist, beträgt ist das Aussterben der Tiere unter Verwendung der Funktion F(x) bei fast 5.

Comments

vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort :)

mfg.