Berechnen Sie die optimalen Maße der Verpackung: Quaderförmige Verpackung mit 1000 cm^3

Question

Ich soll den Materialverbrauch minimieren. Der Hersteller will quaderförmige Verpackungen mit 1000cm^3 Inhalt.

Und die Verpackung ist aus logistischen Gründen nur halb so hoch wie breit.

Berechnen Sie die optimalen  Maße  der Verpackung.

Ich muss ja dann eine Haupt und eine Nebenbedingung aufstellen

Hab das mal etwas versucht: HB. a*b*h= 1000cm^3?

und die Nebenbedingung muss doch dann das mit der Höhe und der Breite beinhalten oder?

wie stelle ich die auf und wie löse ich die Aufgabe weiter?

Answer 1

V = l·b·h = l·b·(b/2) = 1000
l = 2000/b^2

O = 2·(l·b + l·(b/2) + b·(b/2)) = b^2 + 3·b·l = b^2 + 3·b·(2000/b^2) = b^2 + 6000/b
O' = 2·b - 6000/b^2 = 0
b = 10·3^{1/3} = 14.42 cm

l = 2000/b^2 = 20/3·3^{1/3} = 9.61 cm

h = b/2 = 5·3^{1/3} = 7.21 cm

Answer 2

Hauptbedingung (auch als Zielfunktion bezeichnet) ist die zu optimierende Funktion, vorliegend also der Materialverbrauch. Dieser ist identisch mit dem Oberflächeninhalt (wenn man mal von eventuell Klebekanten absieht). 

Der Oberflächeninhalt eines Quaders mit der Länge L, der Breite B und der Höhe H ist:

O ( L , B , H ) = 2 * L * B + 2 * L * H + 2 * B * H

Die Nebenbedingungen sind die, die bei der Optimierung eingehalten werden müssen. Das sind vorliegend die Bedingungen, dass das Volumen des Quaders 1000 cm ³ betragen soll, also: 

L * B * B / 2  = 1000

<=> L = 2000 / B ²

und dass die Höhe gleich der halben Breite sein soll, also:

H = B / 2

Setzt man dies in die Hauptbedingung ein, so erhält man eine Funktion, die nur noch von der Breite B abhängt, nämlich:

O ( B ) = 2 * B * 2000 / B ² + 2 * ( B / 2 ) * 2000 / B ² + 2 * B * B /  2

= 4000 / B + 2000 / B + B ²

= 6000 / B + B ²

Nun ist B so zu bestimmen, dass O ( B ) ein Minimum annimmt. Schaffst du das alleine?