Zum Nachweis der Beschränktheit nach oben der Menge C genügt es zu wissen, dass die Mengen A und B nach oben beschränkt sind. Daraus nämlich folgt, dass sowohl A als auch B eine obere Schranke haben, also eine Zahl, die größer oder gleich dem größten Element von A bzw. B ist.
Sei nun also A* irgendeine obere Schranke von A und B* irgendeine obere Schranke von B, dann gilt:
Für alle a ∈ A : a ≤ A *
und
Für alle b ∈ B : b ≤ B *
Damit aber gilt auch:
Für alle a ∈ A, b ∈ B : a + b ≤ A* + B*
und somit ist A* + B* eine obere Schranke von
C = { a + b | a ∈ A, b ∈ B }
C ist also nach oben beschränkt.
Zum Nachweis der Beschränktheit nach unten der Menge C genügt es zu wissen, dass die Mengen A und B nach unten beschränkt sind. Daraus nämlich folgt, dass sowohl A als auch B eine untere Schranke haben, also eine Zahl, die kleiner oder gleich dem kleinsten Element von A bzw. B ist.
Sei nun also A* eine untere Schranke von A und B* eine untere Schranke von B, dann gilt:
Für alle a ∈ A : a ≥ A *
und
Für alle b ∈ B : b ≥ B *
Damit aber gilt auch:
Für alle a ∈ A, b ∈ B : a + b ≥ A* + B*
und somit ist A* + B* eine untere Schranke von
C = { a + b | a ∈ A, b ∈ B }
C ist also auch nach unten beschränkt.