Menge C := (c : c = a + b mit a € A und b € B) nach oben&unten beschr.t& gilt sup C = sup A + sup B

Question

Die Mengen A und B seien nach oben und unten beschränkt. Man zeige, dass die Menge C := (c : c = a + b mit a € A und b € B) nach oben und unten beschränkt ist und dass gilt sup C = sup A + sup B.

Verstehe einfach nicht, wie das funktionieren soll.

Answer 1

Zum Nachweis der Beschränktheit nach oben der Menge C genügt es zu wissen, dass die Mengen A und B nach oben beschränkt sind. Daraus nämlich folgt, dass sowohl A als auch B eine obere Schranke haben, also eine Zahl, die größer oder gleich dem größten Element von A  bzw. B ist.

Sei nun also A* irgendeine obere Schranke von A und B* irgendeine obere Schranke von B, dann gilt: 

Für alle a ∈ A : a ≤ A *

und

Für alle b ∈ B : b ≤ B *

Damit aber gilt auch:

Für alle a ∈ A, b ∈ B : a + b ≤ A* + B*

und somit ist A* + B* eine obere Schranke von

C = { a + b | a ∈ A, b ∈ B }

C ist also nach oben beschränkt.

 

Zum Nachweis der Beschränktheit nach unten der Menge C genügt es zu wissen, dass die Mengen A und B nach unten beschränkt sind. Daraus nämlich folgt, dass sowohl A als auch B eine untere Schranke haben, also eine Zahl, die kleiner oder gleich dem kleinsten Element von A  bzw. B ist.

Sei nun also A* eine untere Schranke von A und B* eine untere Schranke von B, dann gilt: 

Für alle a ∈ A : a ≥ A *

und

Für alle b ∈ B : b ≥ B *

Damit aber gilt auch:

Für alle a ∈ A, b ∈ B : a + b ≥ A* + B*

und somit ist A* + B* eine untere Schranke von

C = { a + b | a ∈ A, b ∈ B }

C ist also auch nach unten beschränkt.

Comments

Danke für deine Hilfe :)

Ich muss mich bei diesen Beweisen wohl noch etwas einfinden. Im Nachhinein betrachtet, sieht es weniger kompliziert aus. Alleine wäre ich aber wohl nicht drauf gekommen :(