Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen.

Question

Servus liebe Community.

Aufgabe(ein Bild der Parabel) im Buch:

Zu sehen ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Punkt A(0|1) und dem Scheitelpunkt S ( 2|-3)

Nun muss ich die Funktionsgleichung der Parabel bestimmen.

Was ich bisher habe:

Das es ja eine Parabel ist gilt f(x)= ax²+bx+c
Da es ja 3 Unbekannte gibt, brauche ich 3 Gleichungen.

Ich habe die Gleichungen f(2)= -3

                                                f ' (2) = 0

                                                f(0)= 1  aufgestellt.

Wäre einer so nett und könnte die Aufgabe weiter lösen ? Ich bin ratlos

Answer 1

 

f(x) = ax² + bx + c

f'(x) = 2ax + b

f(2) = -3

f'(2) = 0

f(0) = 1

Nun einfach "ins Grüne" einsetzen:

f(2) = 4a + 2b + c = -3

f'(2) = 4a + b = 0

f(0) = a*0² + b*0 + c = 1

Durch das Einsetzen von c = 1 reduziert sich das Ganze zu

I. 4a + 2b = -4

II. 4a + b = 0

I. - II.

b = -4

In I. eingesetzt

4a - 8 = -4

4a = 4

a = 1

Die Funktion lautet demnach

f(x) = x² - 4x + 1

 

Besten Gruß

Comments

Sehr gern geschehen!

Ich selbst rechne nicht so gerne mit der Scheitelpunktform, trotzdem solltest Du Dir die anderen Antworten vielleicht einmal ansehen und nachvollziehen :-)


Danke für den Stern :-D

Answer 2

Hi,

wenn Du erlaubst würde ich da etwas anders herangehen wollen, auch wenn Dein Weg soweit stimmt ;).

Aber wenn Du schon den Scheitelpunkt gegeben hast, kannst Du auch die Scheitelpunktform verwenden. Geht schneller.

 

y = a(x-d)^2+e mit S(d|e),

also S verwendet ergibt:

y = a(x-2)^2 -3

Nun A eingesetzt:

1 = a(0-2)^2 - 3  |+3

4 = 4a

a = 1

 

Wir haben also insgesamt: y = (x-2)^2-3

(Für die Allgemeinform noch ausmultiplizieren, wenn erwünscht: y = x^2-4x+1)

 

Grüße

Answer 3

Verwende die Scheitelpunktform.

Eine quadratische Funktion f(x) = a(x-d)²+e hat den Scheitel S(d/e). Damit kennst Du d und e und musst mit dem Punkt A nur noch den Parameter a bestimmen.

Answer 4

das kannst du doch ganz einfach über die Scheitelpunktform berechnen :)

y= a(x-d)²+e  S(d|e)

y= a(x-2)²-3

1= a(0-2)²-3

1 = 4a-3 |+3

4= 4a |:4

a= 1

1(x-2)²-3

1(x²-4x+4)-3

f(x)= x²-4x+1