Wie bestimmt man die Tiefe und die dazugehörige Funktionsgleichung einer Parabel?

Question

Aufgabe:

In der Aufgabe soll die ungefähre Tiefe eines Kraters und die Funktionsgleichung der Parabel bestimmt werden. Dazu hat man folgende Informationen:

Durchmesser: 22m

Parabel besitzt eine 16% Steigung

Anahme: Der Querschnitt des Kraters kann durch eine gestreckte Parabel bestimmt werden.

Problem/Ansatz:

Leider bin ich bei dieser Aufgabe komplett aufgeschmissen und weiß nicht so wirklich, wie ich diese Lösen kann.

Vielleicht ist jemand ja etwas schlauer als ich und kann mir helfen :)

Comments

Parabel besitzt eine 16% Steigung

Wo? Am Kraterrand?

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Eine Parabel hat ja nicht überall die gleiche Steigung. Wo genau sollen denn die 16% Steigung vorliegen?

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Ah stimmt, habe ich vergessen in die Aufgabe zu schreiben. Am Rand des Kraters sind die 16%

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Parabel: y = ax²

Löse die Gleichung

f ' (11) = 0,16

Answer 1

Aloha :)

Der Krater hat die Form einer Parabel. Aus Symmetriegründen legen wir den Scheitelpunkt der Parabel an die tiefste Stelle des Kraters. Dann lautet die Funktionsgleichung:$$k(x)=ax^2$$

Wir wissen, dass der Krater einen Durchmesser von \(22\,\mathrm m\) hat und dass er am Rand eine Steitung von 16% aufweist. Der Rand des Kraters liegt bei \(x=11\) und über die Steigung gibt die erste Ableitung Auskunft:$$0,16\stackrel!=k'(11)=\left(2ax\right)_{x=11}=22a\implies a=\frac{2}{275}$$

Der Krater wird also durch folgende Parabel beschrieben:\(\quad k(x)=\frac{2}{275}\,x^2\)

Der Kraterrand liegt bei \(x=11\). Der tiefste Punkt des Kraters liegt bei \(x=0\). Daher gilt für die Tiefe \(T\) des Kraters:$$T=k(11)-k(0)=\frac{2}{275}\cdot11^2-0=\frac{22}{25}=0,88$$Der Krater hat also eine Tiefe von \(0,88\,\mathrm m\).

~plot~ 2/275*x^2 ; [[-12|13|-1|15]] ; 0,88 ; {-11|0,88} ; {11|0,88} ; {0|0} ~plot~

Comments

Sorry das ich nochmal nachfragen, aber wie bist du auf die 2/275 gekommen?

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Wir haben ja die Gleichung \(0,16=22a\) erhalten. Daraus folgt:$$\frac{16}{100}=22a\implies a=\frac{16}{100\cdot22}=\frac{4}{25\cdot22}=\frac{2}{25\cdot11}=\frac{2}{275}$$

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Aaah, das ergibt soviel Sinn :)

Die Aufgabe an sich habe ich jetzt verstanden, vielen Dank !!

Allerdings habe ich jetzt die Frage, wieso wir die Steigung einfach so vor die Ableitung schreiben können?

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Ich glaube, ich konnte meine Frage selber beantworten. Man kann die Steigung davor schreiben, weil die Steigung an der Stelle k′(11) ja 16% ist.

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Ja genau richtig. Die Steigung ist gleich der ersten Ableitung.

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Dankeschön:)

Answer 2

f(x) = a * (x - 11) * (x + 11) = a * (x^2 - 121)

f'(x) = a * (2 * x)

f'(11) = a * (2 * 11) = 0.16 → a = 2/275

f(x) = 2/275 * (x^2 - 121)

Das wäre jetzt eine maximale Steigung von 16% am Kraterrand.