Gleichungen mit Brüchen lösen

Question

Wenn ich Gleichungen mit Brüchen lösen soll habe ich Schwierigkeiten.
Zum Beispiel: 1/(3x) + 2 = 4 wenn ich jetzt den Bruch auflösen will und mit (3x) multipliziere, muss ich dann auch die +2 mit 3 x multiplizieren oder nur die 4 auf der anderen Seite?
Außerdem bin ich mir nie sicher ob es Sinn macht immer erst den Bruch aufzulösen. Angenommen ich habe eine Gleichung mit mehreren Brüchen. Dann hänge ich erst eine zeit lang daran und überlege ob es Sinn macht erst einen gemeinsamen Nenner zu finden (was mitunter bei mir recht lange dauert) Ober ob ich erstmal alle Brüche vernichte indem ich mit dem Nenner multipliziere.
Habt ihr da einen Tipp für jemanden der nicht sofort sieht was Sinn macht? Oder fahre ich damit den Bruch durch Multiplikation erstmal aufzulösen meistens am besten?

Answer 1

1/(3·x) + 2 = 4

Hier bitte zunächst die + 2 auf die andere Seite bringen bevor man multipliziert oder wie ich den Kehrwert anwendet.

1/(3·x) = 2

3·x / 1 = 1 / 2

x = 1 / 6

Answer 2

muss ich dann auch die +2 mit 3 x multiplizieren oder nur die 4 auf der anderen Seite?

Du multiplizierst dann beide Seiten der Gleichung mit 3 x , damit die Gleichheit beider Seiten bestehen bleibt,  also:

1 / ( 3 x ) + 2 = 4

beide Seiten mit 3 x multiplizieren

<=> 3 x ( 1 / ( 3 x ) + 2 ) = 3 x * 4

<=> 3 x / ( 3 x ) + 3 x * 2 = 3 x * 4 

<=> 1 + 6 x = 12 x

 

Wenn du den Hauptnenner nicht erkennen kannst, bleibt dir ja nichts anderes übrig, als die Nenner dadurch zu eliminieren, dass du die Gleichung mit allen Nennern multiplizierst. 

Ein Hauptnenner ist aber in jedem Fall das Produkt aller beteiligten Nenner.

Comments

Also ist es letzendlich Geschmacksache ob ich die Nenner multipliziere oder mir den Hauptnenner dadurch bastel in dem ich die Nenner alle multipliziere?

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Grundsätzlich führt jede zielgerichtete Folge von Umformungen zum selben Ergebnis.

Ich würde dennoch empfehlen, die Summanden einer solchen Gleichung auf einen gemeinsamen Hauptnenner zu bringen. Dadurch werden die Zähler nicht unnötig groß und wenn erst einmal alle Summanden denselben Nenner haben, dann kann man einfach nur mit den Zählern weiterrechnen.