Etwas komplizierter läuft es mit Hilfe der Theorie von ===> Edward Nelson ab ( NSA ; IST )
( NSA = Non Standard Analysis; IST sind seine drei Axiome. )
Ich bin absoluter Fan dieser Theorie; ein ausgezeichnetes Lehrbuch ist Alain Robert bei Wiley.
Gerade hier werde ich keine Einführung geben, weil wir das volle Transferaxiom von Nelson benötigen. Ihr müsst euch da schon selber mit beschäftigen.
Nur eine Konvention, um Missverständnissen vorzubeugen. Großbuchstaben bleiben für Standardobjekte reserviert und griechische für inf(initesimale) Größen.
Was ist zu zeigen? Nelson geht immer aus von dem Standardfall:
Definition 1
Eine Funktion y = f ( x ) heiße inf stetig in x0 , wenn
f ( x0 + € ) = f ( x0 ) + µ ( 1 )
Eine inf Änderung in x hat eine höchstens inf Änderung in y zur Folge.
Satz 1
Eine Funktion y = F ( x ) ist gleichmäßig stetig auf ihrem Definitionsbereich D <===>
(V) x € D | F inf stetig ( 2 )
Erläuterung. Im Gegensatz zu einfacher Stetigkeit ist ja gleichmäßige Stetigkeit keine Punkt weise Eigenschaft. Aber hier wirkt es quasi so; hier ist sie äquivalent zu einer Punkt weisen Eigenschaft, bzw. um sie zu widerlegen, reicht es aus, inf Stetigkeit in einem Punkt zu widerlegen.
Lemma 1
lim x ===> ( +°° ) F ( x ) = 0 ( 3a )
genau dann, wenn
x > 0 ; x unbegrenzt ===> F ( x ) =: µ = inf ( 3b )
Aus der Bedingung ( 3a ) folgt somit ein " Regime " , auf dem F inf stetig ist: nämlich alle unbegrenzten Zahlen. Im Kern ist ja ( 3a ) nichts weiter als die Forderung nach Stetigkeit in dem uneigentlichen Punkt ( +°° ) In einem anderen Zusammenhang schrieb Alain Robert
" You can prove it as you always wanted to. "
In der Nelsontheorie bilden die unbegrenzten Elememte so etwas wie die " offenen Umgebungen des unendlich fernen Punktes " ; eine Idee , um deren korrekte Axiomatisierung sich die Schwarzweißanalysis vergebens bemühte.
Das Gute an der NSA ist immer: Du musst ganz klar sagen, was du eigentlich meinst. Was heißt das; f ( x ) geht gegen Null im Unendlichen? Das geht nämlich jetzt nicht so einfach mit Epsilon-Umgebungen. Etwa so:
(V) e > 0 (E) x0 = x0 ( e ) x > x0 ===> | f ( x ) | < e ( 4a )
Hier ist alles erst mal " klein geschrieben " ; Nelson ist ganz typisch case sensitive; die " Schwarzweißanalysis " ist es nicht. Ich gehe hier analog vor wie mein Vorbild Nelson. Versuch doch mal, den Bedeutungsunterschied zwischen ( 4a ) und ( 4b ) rein von der Groß-Kleinschreibung her zu erfassen:
(V) E > 0 (E) X0 = X0 ( E ) x > X0 ===> | f ( x ) | < e ( 4b )
( 4a ) ist die klassische ( dynamische ) e_x0-Wette. Du suchst mich in die Enge zu trteiben, indem du e immer weiter nach Unten drückst; und jedesmal überbiete ich dich mit einem geeigneten x0 .
Dagegen ist die Auffassung hinter ( 4b ) statisch, so wie sich das Euler und Leibniz schon immer wünschten.
