Ist G eine abelsche Gruppe?

Question

Gegeben sei die binäre Operation (x1,x2)*(y1,y2)=(x1y1-x2y2,x1y2+x2y1).

Zu zeigen: G=Q²\{(0,0)} ist abelsch. Ich habe die Assoziativität, Kommutativität und die Existenz eines neutralen Elementes (1,0) schon gezeigt, beim inversen Element hakt es aber ein bisschen. Es muss ja gelten (x1y1-x2y2)=1 und (x1y2+x2y1)=0.

Answer 1

Hi,

die Gleichung die Du hingeschrieben hast, kannst Du in Matrixform wie folgt schreiben. Sei \( A(x_1,x_2)=\left( \begin {matrix} x_1 & -x_2 \\ x_2 & x_1   \end {matrix} \right) \) dann must Du folgendes Gleichungssystem lösen $$ A(x_1,x_2)\left( \begin {matrix} y_1 \\ y_2 \end {matrix} \right)=\left( \begin {matrix} 1 \\ 0 \end {matrix} \right) $$

Es gilt \( A(x_1,x_2)^{-1}=\left( \begin {matrix} \frac{x_1}{x_1^2+x_2^2} & \frac{x_2}{x_1^2+x_2^2} \\ -\frac{x_2}{x_1^2+x_2^2} & \frac{x_1}{x_1^2+x_2^2}  \end {matrix} \right) \) Ausmultipliziert ergibt das die Lösung $$ \left( \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \end {matrix} \right)=\left( \begin {matrix} \frac{x_1}{x_1^2+x_2^2} \\ -\frac{x_2}{x_1^2+x_2^2}  \end {matrix}  \right)  $$