Brauche verschiedene Rechenwege und TR Eingaben zur Exponentialgleichung: 5^{3x} = 7^{2x}. Ergebnis ist 0

Question

hi,

brauche versch. Rechenwege (gern auch TR) für oben genannten Gleichung.

Bin noch Anfängerin in Log, freu mich aber auch über Hinweise/ Erklärungen zu meinen Rechenwegen :)

5^{3x} = 7^{2x}

Ergebnis ist 0

Quelle: http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/logarithmen_ueb.htm (letzte Aufgabe)

Meine Ideen:

a)

TR: log (7^{2}): log (5^{3}) = 0.08060

0der TR: (log (7): log (5)): 6 = 0,2015

b)

log 5^{3x} = log 7^{2x}

3x * log 5 = 2x * log 7 I :2x

3x/2x * log 5 = log 7 I : log 5

3/2 * x = log 7/ log 5 I : 3/2

x = log 7/ log 5 = 1,2091

c)

log 5^{3x} = log 7^{2x}

3x * log 5 = 2x * log 7

3x/2x = log 7/ log 5

(Woher weiss man eigtl, ob log 7 : log 5? Es könnte doch genauso andersherum sein?! Zumindest solang der Log dann nicht negativ ist, aber wie ist das wenn beide Varianten kein neg Ergebnis haben... ?!)

Freu mich über ausführliche Erklärungen,

übrigens: kenne die Seite www.matheretter.de und arbeite auch mit ihr =)



Kiona

Answer 1

Dein Vorschlag kann nicht funktionieren, weil du bei 2x durch 0 dividierst. Ich mach daraus 2 Rechenwege:

log 5^3x = log 7^2x

3x * log 5 = 2x * log 7                I  :2x   , falls x ≠ 0

3x/2x * log 5 = log 7                  I    : log 5

Ausserdem kürzt sich hier x weg.

3/2  = log 7/ log 5       Das ist eine falsche Identität. Damit gibt's keine Lösung ≠ 0

Nun noch den Fall x = 0 separat kontrollieren   

5^0 = 7^0.

1 = 1 stimmt!

L = { 0 }   

Alternative: 

log 5^3x = log 7^2x

3x * log 5 = 2x * log 7                I  - 2x log 7

3x * log 5 -  2x * log 7    = 0        

x ( 3 * log 5 -  2 * log 7)    = 0     

Nullprodukt, wobei Klammer ≠ 0.

==> x = 0

Answer 2

5^3x = 7^2x

125^x = 49^x

125^x / 49^x = 1

(125/49)^x = 1

x = 0