Geometrische und arithmetische Summenformel

Question

Herr K. will durch regelmässige Zahlungen am Jahresende innerhalb von 25 Jahren 200.000 Euro sparen. Wieviel muss er am Ende jeden Jahres einzahlen, um am Ende des 25. Jahres diesen Betrag zu erreichen, wenn
(a) sein Kapital und die bereits gutgeschriebenen Zinsen bzw.
(b) nur seine Ratenzahlungen, aber nicht die bereits erlangten Zinsen
mit jährlich 2% verzinst werden?

Hinweis: Geometrische und arithmetische Summenformel.

Comments

a) 200000= x*(1,02^25-1)/0,02

x= ...

b) 25*x*1,02=200000

x=...

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Danke. Aber muss da nichts mit Summensymbol ∑ hin? Wie bei einer Induktion?

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Bräuchte auch noch Hilfe, wäre sehr dankbar!

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... Lass mich raten, HHU Düsseldorf, Ana I Aufgabe 13... :D

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Wie kommst du nur darauf ;)?

Answer 1

a) $$ \sum_{n=0}^{24}x \cdot 1.02^n=x\cdot 1.02^0+x\cdot 1.02^1+x\cdot 1.02^2+\ldots+x \cdot 1.02^{24}\\=x \cdot\underbrace{\frac{1.02^{25}-1}{1.02-1}}_{\text{geometrische Summenformel}}$$

http://de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensammlung_Mathematik:_Geometrische_Summenformel

Löse: $$x \cdot\frac{1.02^{25}-1}{1.02-1}=200000$$


b)$$ \sum_{n=0}^{24}x\cdot(1+n\cdot0.02)=x+1.02x+1.04x+\ldots+1.48x\\=x\cdot 25\cdot\frac{\overbrace{1}^{a_0}+\overbrace{1.48}^{a_{24}}}{2} $$

https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_Reihe

Löse: $$31x=200000$$