Mengenformeln beweisen: eine Art Distributivität für Komplementärmenge und Urbildmenge.

Question

GUten Morge, ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Gegeben seien Mengen M,N,I und für i∈I ,A,B,B_i , C⊂M. Weiter sei f:N→M eine Funktion und f ^-1 bezeichne die Urabbildung von f. Zeigen sie:

a) A\ ( ∩_i∈I  B_i) =  U_i∈I A\B_i

b) f ^-1(A\B) = f ^-1(A) \ f ^-1(B)

 

Wie muss ich hier vorgehen???

Comments

Versuche mal eine vollständige Induktion, vielleicht kommst du damit weiter.

Answer 1

zu a)

$$A\setminus \left( \bigcap _{ i\in I }^{ }{ { B }_{ i } } \right)$$$$=\left\{ { a\in A }|{ a\notin \bigcap _{ i\in I }^{ }{ { B }_{ i } } } \right\}$$$$=\left\{ { a\in A }|{ a\notin { B }_{ 1 }\vee a\notin { B }_{ 2 } }\vee ...\vee a\notin { B }_{ i } \right\}$$$$=\left\{ { a\in A|{ a\notin { B }_{ 1 } } } \right\} \cup \left\{ { a\in A|{ a\notin { B }_{ 2 } } } \right\} \cup ...\cup \left\{ { a\in A|{ a\notin { B }_{ i } } } \right\}$$$$=A\setminus { B }_{ 1 }\cup A\setminus { B }_{ 2 }\cup ...\cup A\setminus { B }_{ i }$$$$=\bigcup _{ i\in I }^{ }{ A\setminus { B }_{ i } }$$

zu b)

$${ f }^{ -1 }\left( A\setminus B \right)$$$$=\left\{ { { f }^{ -1 }(m) }|m\in \left( A\setminus B \right) \right\}$$$$=\left\{ { { f }^{ -1 }(m) }|m\in A\wedge m\notin B \right\}$$$$=\left\{ { { f }^{ -1 }(m) }|m\in A \right\} \setminus \left\{ { f^{ -1 }(m) }|m\in B \right\}$$$$={ f }^{ -1 }\left( A \right) \setminus { f }^{ -1 }\left( B \right)$$