Partielle Ableitungen nach x: f(x,y) = sin(x^2+3y^4) + x - y

Question

Bestimmen sie die partielle Ableitung nach x der folgenden Funktionen: 

a) f(x,y) = sin(x²+3y⁴) + x - y

b) f(x,y) = 1/2 * (Wurzel aus (x³y² - 5xe^y) )

c) f(x,y,z) = xyz / x²+y²+z²

Answer 1

Die Variablen y bzw. z als Konstanten betrachten und stur nach x ableiten:

a) f'_x = sin(x²+3y⁴)*2x + 1 (hier: Kettenregel bei sin)

b)  f(x,y) = 1/2 * (Wurzel aus x³y² - 5x*e^y) = 0,5*(x³y² - 5x*e^y)^1/2 (hier: Kettenregel bei Wurzel)

f'_x = 0,5*(1/2)*(x³y² - 5x*e^y)^1/2-1 *(3x²y² - 5*e^y) = 0,25*(3x²y² - 5*e^y)/(√(x³y² - 5x*e^y))

c)  Nur x² im Nenner? Wenn ja, dann  f(x,y,z) = xyz / x²+y²+z² = x*y*z*x^-2+y²+z² =  y*z*x^-1+y²+z²

f'_x = (-1)*y*z*x^-2 = -y*z/x²