Untersuchung der Homogenität

Question

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

f(x) ist homogen vom Grad r und g(x) vom Grad s. Nun soll man untersuchen, ob die Funktionen h(x) homogen sind und man soll den Grad der Homogenität bestimmen.

(1) h(x) = (g(x))^p

(2) h(x) = f+g

Ich habe mir folgende Überlegungen gemacht:

(1) (g(tx))^p , doch nun komme ich nicht weiter… kann ich einfach t "rausziehen"? Also: t^p(g(x))^p

Oder wie muss ich vorgehen? Die Lösung ist sp (was für mich logisch ist, doch ich verstehe die Schritte nicht, wie ich auf dieses Resultat komme)

(2) ich habe mir hier nur notiert: wenn r=s → 2t^r bzw. 2t^s. Doch auch hier verstehe ich die Zwischenschritte nicht genau. Muss ich f und g einfach durch t ersetzen mit der entsprechenden Homogenität (t^s und t^r)?

Ich hoffe jemand kann meine Problemstellung nachvollziehen :)

Answer 1

Ich würde es so machen:

1)

g ( x ) ist homogen vom Grad s

<=> g ( a x ) = t ^s * g ( x )

=>

Für h ( x ) = ( g ( x ) ) ^p gilt:

h ( a x ) = ( g ( a x ) ) ^p

= ( t ^s * g ( x ) ) ^p

= t ^{s * p} * ( g ( x ) ) ^p

= t ^{s * p} * h ( x )

=> h ( x ) ist homogen vom Grad s * p

 

2)

f ( x ) ist homogen vom Grad r <=> f ( t x ) = t ^r * f ( x )

und g ( x ) ist homogen vom Grad s <=> g ( t x ) = t ^s * g ( x )

=>

Für h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) gilt:

Fall 1: r = s

h ( t x ) = f ( t x ) + g ( t x )

= t ^r * f ( x ) + t ^s * g ( x )

= t ^s * f ( x ) + t ^s * g ( x )

= t ^s ( f ( x ) + g ( x ) )

= t ^s * h ( x )

=> h ( x ) ist homogen vom Grad s.

 

Fall 2: r <> s

h ( t x ) = f ( t x ) + g ( t x )

= t ^r * f ( x ) + t ^s * g ( x )

=> h ( x ) ist nicht homogen.