Zeigen Sie: (a) Für jedes c ∈ ℂ* besitzt die Gleichung z2 = c (in ℂ) genau zwei Lösungen. (b) Jede quadratische Gleichung
w2 + λw + µ = 0
mitλ,µ∈CbesitztdieLo¨sungenw1,2=−λ2±λ24−μwobei±cdieLo¨sungenderGleichungz2=causTeil(a)bezeichnet. mit\quad λ,µ∈ℂ\quad besitzt\quad die\quad Lösungen\quad { w }_{ 1,2 }=-\frac { \lambda }{ 2 } \pm \sqrt { \frac { { \lambda }^{ 2 } }{ 4 } -\mu } \quad wobei\quad \pm \sqrt { c } \quad die\quad Lösungen\quad \\ der\quad Gleichung\quad { z }^{ 2 }=c\quad aus\quad Teil\quad (a)\quad bezeichnet. mitλ,µ∈CbesitztdieLo¨sungenw1,2=−2λ±4λ2−μwobei±cdieLo¨sungenderGleichungz2=causTeil(a)bezeichnet.
Geht für a den folgendes:
z2 = c
z2 - c = 0
z1,2 = c/2 +/- √(c/2)2
...
weiter weiß ich leider nicht.
Wäre es so richtig?:
Für a:
a = x2 - y2
x2 = a + y2
x = √a + y =>
y = √a + x
Da die Wurzel von a sowohl negativ als auch positiv ein kann, gibt es 2 Lösungen.
Für b:
b = 2xy
b/x = 2y
y = b/2x =>
x = b/2y
Kommt mir aber als zu schnell um war zu sein vor?
a = x2 - y2 (I)
x1 =√(a + y2) ,
x2 = -√(a + y2)
Aber: du brauchst eine Formel für x, die kein y enthält.
Beginne mit
y = b/(2x)
nun dieses y am besten gleich in (I) einsetzen. Da kannst du ordentlich nach x auflösen und danach die zugehörigen y-Werte bestimmen.
zu a): Polarform von ccc benutzen.
zu b): quadratische Ergänzung.
Ich habe schonmal die Frage gestellt: https://www.mathelounge.de/118187/zeigen-fur-jedes-besitzt-die-gleic…
Mitlerweile habe ich eine Lösung, vielleicht nicht ganz korrekt aber es müssste gehen. Werde ich als Kommentar darunter schreiben.
b) kannst du im Prinzip hier abschreiben.
https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#Herleitung_der_…
Schritt nach
(x + p/2)2 = (p/2)2 - q
ist mit Wurzel aus a) erklärt.
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