Beweisen Sie folgende Gleichungen. Stimmt der Beweis?

Question

\( \sum \limits_{i=1}^{n} i^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \)

Mit n = 1:

\( \frac{1(1+1)(2 \cdot 1+1)}{6}=\frac{2 \cdot 3}{6}=\frac{6}{6}=1 \)

\( \sum \limits_{i=1}^{n+1} i^{2}=\sum \limits_{m i=1}^{n} 1^{2}+(n+1)= \)

Was kommt danach? Dann muss ja der Induktionsanfang kommen oder nicht?

Answer 1

Hi Emre,

Das is soweit richtig. Forme die linke Seite nun zu

\(\frac{n(n+1)(n+2)}{6} + (n+1)^2\)

um (Induktionsbedingung einsetzen).

Was auf der rechten Seite stehen musst, kannst Du Dir denken? Zeige, dass das das gleiche ist ;).

Grüße

Comments

juhu das ist schon mal ein riiiiieeeeeßen Fortschritt ...oder nicht???
genau das meinte ich ..wie bist du darauf gekommen???
ich mach das dann gleich fertig :)

---

So ist es ;).

Wie ich darauf gekommen bin? Dank Deiner Vorarbeit musste ich da nicht "draufkommen", sondern einfach weitermachen ;).

---

Das rechte ist doch eine binomische formel ger?

---

Die Frage ist was Du mit "rechts" meinst. Der zweite Summand? Ja.

Oder die rechte Seite der Gleichung. Wie sieht denn die aus? ;)


Und ja...ist ein wenig rumgeforme :P.

---

ja der zweite Summand :)
aber die Rechte Seite der gleichung sieht doch ganz normal aus....ich weiß es ist  ieine formel aber ich weiß nicht welche oder mit fällt der name nicht ein :(
und ich kann nicht umformmen :(
kannst du das mal für mich machen und mit erklären?? und ich mach dann eine andere komplett alleine ???? :)
bitteeeeeeeeeeeeeeeeeeee

---

Nicht verzweifeln, Emre. Das Beweisen braucht viel Geduld und Erfahrung, und vor allem Übung.

---

Die rechte Seite sieht aus wie die ursprüngliche, nur dass überall ein +1 bei den n's dabei steht.


Linke Seite:

\(\frac{n(n+1)(n+2)}{6} + (n+1)^2 = \frac{n(n+1)(n+2) + 6(n+1)^2}{6} \)

\(= \frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}\)

Das entspricht der rechten Seite, wie sie dastehen sollte.


Das wars damit schon. Gut, wenn man noch nicht den "Blick" bzw. die Erfahrung hat, hätte man eventuell alles ausmultiplizieren müssen und dann mit Polynomdivision arbeiten müssen etc. Aber da man ja weiß wo man hinmuss... ;).

---

@Thilo: Ja:)  ich gib nicht auf :)  Irgendwann schaffe ich das auch :)
aber ein rießen großer Fortschritt ist schon mal dass ich n=1 =.....=1 geschafft hab^^

---

@Unknown: Dankee!! :)
ich würde jetzt nochmal in der letzen Zeile den Zähler ausmultiplizieren :) aber hmm na gut:)
ich mache mal eine ähnliche :)