Die Behauptung
$$\sum _{ i=1 }^{ n }{ k } =\frac { n(n+1) }{ 2 }$$
ist falsch!
Denn schon für n = 1 ist der Wert der Summe nicht \(\frac { n(n+1) }{ 2 } =\frac { 1*2 }{ 2 } =1\) sondern \(k\).
Und für beliebiges n ≥ 1 ist der Wert der Summe \(n * k\).
Warum? Weil der Index der Summe i ist !
Damit ergibt sich:
$$\sum _{ i=1 }^{ n }{ k } =k+k+...(n\quad mal)...+k=n*k$$
Die Behauptung wäre richtig, wenn der Index der Summe k wäre.
Dann nämlich gilt:
$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ k } =1+2+...+n=\frac { n(n+1) }{ 2 }$$
Beweis (vollständige Induktion):
Induktionsanker:
Für n = 1 gilt :
$$\sum _{ k=1 }^{ 1 }{ k } =1=\frac { 1(1+1) }{ 2 }$$
Induktionsvoraussetzung:
Gelte für festes n ≥ 1:
$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ k } = \frac { n(n+1) }{ 2 }$$
Induktionsbehauptung:
Dann gilt für n + 1:
$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k } =\frac { (n+1)(n+2) }{ 2 }$$
Beweis:
$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ k } +n+1$$Induktionsvoraussetzung anwenden:$$=\frac { n(n+1) }{ 2 } +n+1$$Mit 2 erweitern:$$=\frac { n(n+1) }{ 2 } +\frac { 2(n+1) }{ 2 }$$Auf gemeinsamen Bruchstrich schreiben$$=\frac { n(n+1)+2(n+1) }{ 2 }$$(n+1) ausklammern:$$=\frac { (n+1)(n+2) }{ 2 }$$q.e.d
