f(x) = 3x + 2 in Formel für Ableitung bringen

Question

ich beschäftige mich zur Zeit mit dem Ableiten von Funktionen und habe diese Formel gegeben, mit der ich die obige Funktion ableiten soll

$$f'({ x }_{ 0 })={ lim }_{ \Delta x\longrightarrow 0 }\frac { f({ x }_{ 0 }^{  }+\Delta x)-f({ x }_{ 0 }) }{ \Delta x }$$

Ich habe noch Probleme die ursprüngliche Funktion in Form der Formel zu schreiben und wollte wissen ob das so richtig ist:

$$f'({ x }_{ 0 })={ lim }_{ \Delta x\longrightarrow 0 }\frac { 3({ x }_{ 0 }^{  }+\Delta x)+2-3({ x }_{ 0 })+2 }{ \Delta x }$$

 

Mit den weiteren Schritten habe ich eigentlich keine größeren Probleme, nur weiß ich nicht immer genau wie ich die Funktion in Form dieser Formel schreiben muss. 

Ich setze also für mein x in der ursprünglichen Funktion den Ausdruck (x₀+Δx) ein und schreibe die sonstigen Konstanten außerhalb der Klammer auf (in diesem Fall die 3 davor und die +2 dahinter). Dann setze ich für mein x den zweiten Ausdruck (x₀) ein und schreibe wieder keine der Konstanten in die Klammer, sondern davor bzw. dahinter.

Kann ich mir das Ganze so merken, dass in den Klammern nie ein anderer Term stehen darf außer (x₀+Δx) bzw. (x₀)? Beim obigen Beispiel war ich mir nicht sicher ob ich die 3 vor die Klammer oder in die Klammer schreiben muss.

 

Vielleicht kann mir ja jemand meinen "Merksatz" kurz bestätigen

Answer 1

Hmm, die Frage ist doch, was ist das für eine Funktion f, die du ableiten möchtest?

Nachtrag: Achso, jetzt erst gesehen, dass du die Funktion in den Titel geschrieben hast. Ja, dann ist das fast richtig. Nur muss vor der 2 noch ein Minus stehen. Es ist nämlich $$\lim_{ \Delta x \rightarrow 0 } \frac{ f( x_0 + \Delta x) - f(x_0) }{ \Delta x } = \lim_{ \Delta x \rightarrow 0 } \frac{ [ 3(x_0 + \Delta x) + 2 ] - [ 3x_0 + 2 ] }{ \Delta x }$$

Die Terme in eckigen Klammern sind die $$f( x_0 + \Delta x)$$ bzw. $$f(x_0)$$.

Also wenn du z.B. $$f(x) = 2x^2$$ hast, musst du $$\lim_{ \Delta x \rightarrow 0 } \frac{ f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) }{ \Delta x } = \lim_{ \Delta x \rightarrow 0 } \frac{ 2(x_0 + \Delta x)^2 - 2x_0^2 }{ \Delta x }$$

berechnen. Du ersetzt also in jedem x deiner Funktion x durch $$x_0 + \Delta x$$ bzw. $$x_0$$.

P.S.: Die eigentlich Definition der Ableitung an einer Stelle x0 ist $$f'(x_0) = \lim_{ x \rightarrow x_0 } \frac{ f(x) - f(x_0) }{ x - x_0 }$$. Setzt man $$\Delta x := x - x_0$$, kommt man zu deiner Formel $$f'(x_0) = \lim_{ \Delta x \rightarrow 0 } \frac{ f( x_0 + \Delta x ) - f(x_0) }{ \Delta x }$$. Versuche es mal, indem du $$\Delta x$$ wieder zurück ersetzt durch $$x - x_0$$.

In der Schule wird von der h-Methode gesprochen, weil man $$\Delta x$$ meistens mit h bezeichnet und dann $$\lim_{ h \rightarrow 0 } \frac{ f(x_0 + h) - f(x_0) }{ h }$$ berechnet.

Comments

Danke, ich sollte also bei sowas noch mit eckigen Klammern arbeiten, um die Vorzeichenänderungen nicht zu übersehen.
Ist diese Funktion richtig eingefügt?
f(x)=2x + 3/x

=

$$\frac { \left[ 2+\frac { 3 }{ { (x }_{ 0 }+\Delta x) }  \right] -\left[ 2+\frac { 3 }{ { (x }_{ 0 }) }  \right]  }{ \Delta x }$$

Sodass sich die +2 und -2 aufheben und ich nur noch die Brüche habe?

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Nee. Also stelle dir das so vor: f(x), da ist das x ein Platzhalter für irgendwas. Meistens eine Zahl, manchmal eben auch andere Variablen. Wenn dort steht f(x) = 2x + 3/x, dann heisst das, dass wenn man f( irgendwas ) berechnet, dann "irgendwas" überall eingefügt werden muss, wo das x steht. Hier ein paar Beispiele für deine Funktion f(x) = 2x + 3/x:

f(y) = 2y + 3/y,

f(1,5) = 2(1,5) + 3/(1,5)

f( a + 3c + d ) = 2*(a+3c+d) + 3/(a+3c+d)

f( asdfasdfa ) = 2*asdfasdfa + 3/asdfasdfa

und eben auch

$$f(x_0 + \Delta x ) = 2*( x_0 + \Delta x ) + \frac{ 3 }{ x_0 + \Delta x }$$

und $$f(x_0) = 2*x_0 + \frac{ 3 }{ x_0 }$$

Ja, mit eckigen oder runden Klammern arbeiten ist da von Vorteil, wenn man noch nicht so viel Übung hat.

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Ach, jetzt sehe ich erst was ich oben für einen Quatsch geschrieben habe. Ich habe das x hinter der 2 ganz vergessen und warum auch immer, ein + hingeschrieben. Das war tatsächlich nicht gewollt. Gemeint habe ich deine Variante :D Danke

NACHTRAG: Ich habe die Ausgangsfunktion falsch geschrieben, entschuldige. Eigentlich heißt es : f(x): 2+ 3/x, nicht 2x+ 3/x. Dann sollte meine Variante doch stimmen, oder?

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Ja, dann stimmt sie :)