Konvergenzradius bestimmen für ∑k=0^∞ 8(-7^k)/(k+5))*x^k

Question

ich soll den Konvergenzradius R für ∑k=0^∞ ((-7^k)/(k+5))*x^k bestimmen und die Lösung sollte R=1/7 sein. Aber ich komme nicht darauf.

Wo liegt mein Fehler?

 

Es gilt doch: R= lim_k=0 I a_k I / I a_k+1I

Daraus folgt: ((-7^k) * k+6) / ((k+5)*(-7^k+1))

(1*6)/ (5*-7)

 

und so komme ich auf -(6/35) anstatt af die 1/7.

Answer 1

Hi,

um den Konvergenzradius zu berechnen muss man ja den Quotienten \( \left| \frac{a_n}{a_{n+1}}  \right| \) berechnen. Das bedeutet \( \left| \frac{ \frac{(-7)^k}{k+5} }{\frac{(-7)^{k+1}}{k+6}} \right|=\left| -\frac{1}{7}\frac{k+6}{k+5} \right| \) und das konvergiert gegen \( \frac{1}{7} \)

Comments

Was passiert dann mit dem k+6 und k+5? Wenn ich für k 0 einsetze, dann komme ich ja auf 6/5.

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Hi,

Du musst ja auch nicht k=0 einsetzten sondern k gegen unendlichgehen lassen, also \( \frac{k+6}{k+5}=\frac{1+\frac{6}{k}}{1+\frac{6}{k}} \) und das geht gegen 1 weil \( \frac{5}{k} \) und \( \frac{6}{k} \) gegen 0 geht.

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hmm..also so ganz verstanden habe ich das noch nicht...Ich lasse k gegen unendlich verlaufen ok, aber dann bekäme ich doch einerseits bei (k+6)/(k+5) (∞+6)/(∞+5) raus, wobei die 6 und die 5 zu vernachlässigen wäre und am Ende (∞/∞) rauskäme.

Bei 7^k und 7^k+1 habe ich gedacht, dass ich k=0 einsetzen sollte und bin deshalb auf 1/7 gekommen. Aber wenn k gegen unendlich verläuft dann hätte ich doch 7^∞ und 7^∞+1?

Außerdem noch eine Frage, wenn generell k gegen unendlich zu verlaufen lassen ist, was bedeutet dann das k=0?

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Hi,
ich glaube da liegen ein paar grundsätzliche Mißverständisse vor. Die Potenzreihe summiert die Koeffizienten von k=0 bis k=unendlich auf. Nur da spielt k=0 eine Rolle. Ob die Reihe konvergiert oder nicht wird durch das Verhalten des Quotienten \( \left|  \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \) und zwar für n gegen unendlich. Damit sollte klar sein welche Rolle k=0 spielt.

Nun zu dem Quotienten \( \frac{k+6}{k+5}=\frac{1+\frac{6}{k}}{1+\frac{6}{k}} \) Die Ausdrücke \( \frac{6}{k} \) bzw. \( \frac{5}{k} \) gehen gegen 0 für n gegen unendlich, damit geht der Quotient \( \frac{k+6}{k+5}=\frac{1+\frac{6}{k}}{1+\frac{6}{k}} \) gegen 1 und damit ist der Konvergenzradius  \( \frac{1}{7} \)