Limes berechnen und verstehen

Question

beim Thema Funktionen komme ich nicht um den Limes herum und nun versuche ich mir anzueignen worum es sich dabei überhaupt handelt. Leider gibt es dafür nur wenige/gar keine Tutorials im Internet, anhand derer ich sonst immer gut lernen konnte. Nun seid ihr quasi meine letzte Hoffnung...

Gegeben sei folgende Funktion 

$$f(x)=\frac { { e }^{ x }-1 }{ x }$$

Nun kann der Nenner ja nie 0 werden, da die Funktion sonst nicht definiert wäre. Hier kommt also der sogenannte Limes ins Spiel. Der "untersucht" was passiert, wenn x nicht 0 wird, jedoch kurz darüber (z.B. 0.001) oder darunter (z.B. -0.001) ist.

Das Beispiel finde ich noch recht einleuchtend, da ich hier einen Nenner habe der, wenn er 0 wird, die Funktion nicht definiert. Nun kann es ja sein, dass ich wissen möchte, was um diesen nicht definierten Punkt herum passiert. Alles soweit klar und für mich nachvollziehbar. 

Wenn ich in der obigen Funktion x gegen 0 laufen lasse, also Werte kurz über und unter 0 für x ein einsetze, liegen die Werte immer knapp über oder unter 1. Das ist dann also mein Grenzwert für diese Funktion, richtig? Somit hätte ich dann den x-Wert 0 und y-Wert 1 auf meinem Koordinatensystem. 

Bis hierhin finde ich das ganze noch recht einleuchtend.

In meinem Buch taucht nun das Folgende auf:

"Nehmen Sie im Allgemeinen an, dass eine Funktion f definiert ist für alle x in der Nähe von x₀, aber nicht notwendig an der Stellt x=x₀. Dann sagen wir, dass f(x) die Zahl A als Ihren Grenzwert hat, wenn x gegen x₀ strebt, falls f(x) gegen A strebt, wenn x gegen x₀ strebt (aber nicht gleich x₀ ist). Wir schreiben:

lim x->x₀ f(x)=A

Diese Passage irritiert mich nun völlig. Mir ist klar, dass die obige Funktion definiert ist für x=0,5 oder x=0,00001. Nur halt eben nicht für x=0. Aber woher kommt denn die Zahl A überhaupt?

Entschuldigt den Roman, aber ich will nicht nur stumpf rechnen, sondern auch verstehen was genau ich da überhaupt mache.

Answer 1

Die Passage, wie sie geschrieben ist, irritiert mich auch. Sie meint aber einfach, dass, falls f an der Stelle x = x0 (nicht notwendig) nicht definiert ist, ist der Grenzwert für x gegen x0: $$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$$, wobei A eben der Grenzwert ist. Eine Zahl, die nie erreicht wird, völlig egal wie nahe man an die 0 herangeht, aber je näher man an die 0 herangeht, desto näher kommt man der Zahl A.

In deinem Beispiel oben wäre x0 = 0 und $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ e^x - 1 }{ x } = 1$$, wobei dein A = 1 ist.

Zur Probe nahe Werte bei 0 einzusetzen ist übrigens nur ein Anhaltspunkt, dass der Grenzwert 1 ist, aber kein Beweis. Das einfachste wäre bei der obigen Grenzwertbetrachtung die Regel von de l'Hospital anzuwenden, denn Zähler und Nenner gehen gegen 0. Damit ist $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ e^x - 1 }{ x } = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ e^x }{ 1 } = e^0 = 1$$

Das "nicht notwendig" bedeutet, dass f auch an der Stelle x = x0 definiert sein kann, trotzdem folgt dann der Grenzwert A durch einfaches Einsetzen von x0, so wie ich es bei $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ e^x }{ 1 } = e^0 = 1$$ gemacht habe.

Comments

Die Regel von de l'Hospital wird in einem späteren Kapitel behandelt. Hier genügt erst einmal das probeweise einsetzen von Werten.

Ich dachte ich kann mir den Grenzwert als einen Wert vorstellen, der kurz vor dem Wert steht, für den die Funktion nicht mehr definiert ist. Der Grenzwert ist (dachte ich zumindest) also eine Zahl, für die die Funktion gerade noch definiert ist. Das ist aber so nicht korrekt oder?

Ich frage mich nämlich gerade was genau der Grenzwert überhaupt ist. Ich dachte es gäbe nur Grenzwerte bei Funktionen, die für einen bestimmten Wert nicht definiert sind. Weil zum Beispiel der Nenner eines Bruchs 0 ist oder weil eine Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden würde.

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Ja, unendlich kurz vor dem Wert, für den die Funktion nicht mehr definiert ist. Für den Grenzwert ist die Funktion dann nicht mehr definiert, nein. Dann würde sie den Grenzwert ja tatsächlich annehmen. Das macht sie aber nicht. Sie nähert sich ihm nur immer weiter an, nimmt ihn aber nie tatsächlich an. Wir betrachten ja auch x gegen x0, das heisst, dass x sich x0 auch nur immer weiter annähert, aber niemals x = x0 gilt.

Also wenn du z.B. $$\lim_{x \rightarrow 0} x^2$$ berechnen willst, ist es ja klar, dass der Grenzwert 0 sein muss. Es stimmt sogar mit dem Funktionwert an der Stelle x = 0 überein. Also an Stellen, wo eine Funktion definiert ist, da ist der Grenzwert gleich dem Funktionswert. Da braucht man keine Grenzwertbetrachtung durchführen. Interessant sind eben nur Stellen, an der die Funktion nicht definiert ist. Oder man möchte wissen, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält, also $$\lim_{x \rightarrow +- \infty} f(x)$$

Guck dir mal die Funktion f(x) = (1/x) * sin(x) an. Ich finde nicht, dass intuitiv klar ist, dass diese Funktion sich für x gegen 0 an die 1 annähert. Da gibt es noch viel kompliziertere Beispiele, wo man es auch an einem Graphen nicht erkennen kann. Deshalb muss man da eine Grenzwertbetrachtung durchführen.

Was ist wohl $$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{1}{x} sin(x)$$?

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Kann ich mir die folgende Frage stellen, um mir bewusst zu machen, was überhaupt gefordert ist?

"Gegen was strebt die Funktion, wenn der Funktionswert gegen 0 (oder eine anderen Zahl) strebt?"

So was hilft mir oft, um etwas zu verstehen, wovon ich vorher noch nie gehört habe. zum Beispiel habe ich mir das Thema Logarithmus (ln) mit der Frage angeeignet: Mit was muss ich e "hochnehmen", um Zahl x zu erhalten.
Es mag vielleicht etwas dämlich klingen, aber so verstehe ich oft den Sinn hinter diesen Aufgaben und kann diese dann auch schneller lösen.

Folgende Aufgabe hat mich irritiert:

lim x->-2 (x^2 +5x)

Ich frage mich also was mit der Funktion passiert, wenn ich den Funktionswert gegen -2, also nahe -2 laufen lasse. Das Ganze hat mich deshalb irritiert, weil diese Funktion doch ohnehin für x∈ℝ definiert ist. Auch für -2 wäre die Funktion doch definiert. Deswegen habe ich den Sinn nicht verstanden, hier einen Grenzwert zu bestimmen.
Danke für deine Geduld, so langsam verstehe ich was gemeint ist.

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Ja, das kannst du dir so merken.

Das ist überhaupt nicht dämlich ;) Das mit dem Logarithmus habe ich mir genauso wie du gemerkt ^^ Ich hatte mal in einem Buch von einem Autor, der viel mit großen Mathematikern unterwegs ist, gelesen, dass diese Mathematiker die kompliziertesten Thematiken in wenigen anschaulichen Sätzen formulieren können. Die Kunst des abstrakten Denkens besteht anscheinend darin, so wenig abstrakt wie möglich zu denken ;)

Ja, wenn $$f(x) = x^2 + 5x$$ bei x = -2 definiert ist, macht es auch keinen Sinn, da einen Grenzwert auszurechnen. Vielleicht war der Sinn der Aufgabe, zu verstehen, dass der Grenzwert an einer Stelle auch gleich dem Funktionswert an dieser Stelle sein kann, wenn die Funktion dort definiert ist.

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Dann bin ich ja beruhigt, dass ich kein Ausnahmefall bin :)

Bis zum nächsten Kapitel und der Regel von de l'Hospital kann ich den Grenzwert einer Funktion nur durch probeweises einsetzen bestimmen, oder? 

Also bei limx→0: x² 

Kann ich - bei meinem jetzigen Wissenstand - probeweise Werte kurz vor und nach 0 einsetzen, um so den Grenzwert zu bestimmen?

Das war es dann auch erstmal von meiner Seite :)  

Ich weiß wirklich nicht was ich ohne dieses Forum machen würde^^