beweis bei funktionen

Question

Abend :)

Hab heute Schulaufgabe geschrieben und möchte mal kurz eine Aufgabe hier vergleichen.

Beweisen, dass sich fa(x)=1/9 x⁴ -1/9 ax²-x²+a auch als fa(x)=1/9 (x²-a)(x²-9) schreiben lässt.

Habe erstmal die Nullstellen bestimmt.

x1=√a    x2=-√a   x3=3   x4=-3

Dann habe ich fa(x)=1/9 x⁴ -1/9 ax²-x²+a  mit Polynomdivision durch (x-3) geteilt.

Die ist aufgegegangen. Reicht das dann als Beweis??

 

Andere Aufgabe:

Begründen Sie, dass für alle f(x)≥0 gilt.

f(x)=x⁴ -x² +9   Kann auch ein anderen Funktionswert gewesen sein, die Exponenten passen aber so.

Wie soll ich das Rechnung begründe? Ich habe die Nullstellen bestimmt, war eine doppelte bei 3 und eine doppelte bei .3. Der Graph kommt ja von links oben und geht nach rechts oben, Da er die x-Achse nur berührt kommt er ja nicht unter die y-Achse, oder?

Wäre dies ohne Rechnung möglich gewesen?

LG

Answer 1

fa(x) = 1/9·x^4 - 1/9·a·x^2 - x^2 + a

Wenn wir zeigen sollen das sich das ganze auch als 

fa(x) = 1/9·(x^2 - a)·(x^2 - 9)

schreiben lässt muss ich nicht unbedingt die erste Funktion so umformen das die zweite heraus kommt. Ich kann auch die zweite ausmultiplizieren und zeigen das die erste heraus kommt.

fa(x) = 1/9·(x^2 - a)·(x^2 - 9)
fa(x) = 1/9·(x^4 - 9·x^2 - a·x^2 + 9·a)
fa(x) = 1/9·x^4 - x^2 - 1/9·a·x^2 + a
fa(x) = 1/9·x^4 - 1/9·a·x^2 - x^2 + a

Comments

f(x) = x^4 - x^2 + 9

Ich soll begründen das für alle f(x) > 0 gilt.

f(x) = x^4 - x^2 + 9

Achsensymmetrie

lim (x → -∞) f(x) = ∞
lim (x → ∞) f(x) = ∞

Extrempunkt f'(x) = 0

f'(x) = 4·x^3 - 2·x = 4·x·(x^2 - 1/2)

x = 0 oder x = ± √(1/2)

f(0) = 9 --> Hochpunkt

f(√(1/2)) = √(1/2)^4 - √(1/2)^2 + 9 = 1/4 - 1/2 + 9 = 8.75 > 0 --> Tiefpunkt

Der Tiefste Punkt der Funktion liegt oberhalb der x-Achse. Du kannst auch keine Nullstellen ausgerechnet haben.

Answer 2

HI,

Zweite Aufgabe:

Die Nullstellen der Funktion \( x^4-x^2+9 \) sind rein imaginär, also nicht reel, daraus folgt die Funktion ist entweder überall größer oder kleiner 0. Setzte in die Funktion 0 ein, dann folgt \( 0^4-0^2+9=9 \) also ist die Funktion überall größer 0.