Kleiner Beweis via Implikation - lässt sich aber die Voraussetzung umschreiben?

Question

Aufgabe:$$\text { Zeigen Sie: }\{x,\{y\}\}=\{y,\{x\}\} \Longrightarrow x=y$$

Bemerkung: Oder meiner Meinung nach auch per Kontraposition möglich: 

$$ x \neq y ⇒ \{x,\{y\}\} \neq \{y,\{x\}\} $$

Was ich weiss:
Die Menge A und B sind gleich, wenn A in B enthalten ist und B in A enthalten ist. 


Problem/Ansatz:

Wir sehen dass in der Aufgabenstellung eine einelementige Menge in der Menge enthalten ist, in einem Fall ist es \(x\) das in der "MengeMenge" liegt und im anderen Fall ist es \(y\) das in der "MengeMenge". Da aber nur eine einelementige Menge in der Menge enthalten ist, so kann ich jeweils die Mengenklammer ja weglassen und es wäre dann einfach $$\text { Zeigen Sie: }\{x,y\}=\{y,x\} \Longrightarrow x=y$$

Frage1: Darf ich das oder liege ich falsch damit ? Ich denke, dass \(x = \{x\} und y = \{y\} \) ist. 


Macht also nicht so sinn.
Das will aber die Übung nicht, also muss ich zeigen dass wenn die eine Menge in der anderen Menge enthalten ist, dann folgt, dass \(x\) und \(y\) gleich sind. 


Idee - Beweis durch Kontraposition. 
Sei x ≠ y. 

Dann ist: { x, {y} } ⊄ { y , {x} }
aber auch: { y , {x} } ⊄ { x, {y} }.

Da das wahr ist, gilt die Implikation $$\{x,\{y\}\}=\{y,\{x\}\} \Longrightarrow x=y$$ als wahr. QED. 


Frage:
Macht das Sinn was ich gemacht habe ??

Answer 1

Macht das Sinn was ich gemacht habe ??

Nein. Wenn zwei Mengen ungleich sind, könnte trotzdem eine die Teilmenge der anderen sein.

Mein Vorschlag:

Zwei zweielementige Mengen M1 und M2 können nur dann gleich sein, wenn man jedes der beiden Elemente von M1 auch in M2 wiederfindet.

Dafür gibt es unter den gegebenen Bedingungen genau zwei Möglichkeiten:

x=y und {y}={x}

oder

x={x} und y={y}.

Letzteres ist Unsinn. Warum?

Comments

Ja stimmt, das seh ich jetzt ein, ich dachte, ich kann einfach ohne weiteres die Ungleichheit zweier Mengen mittels Kontraposition zeigen und zwar mit den gleichen Methoden (einfach nichtenthalten) wie wenn ich zeige dass zwei Mengen gleich sind.

Danke, was genau meinst du mit „letzteres“ ?

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Wenn du mit „Letzteres ist Unsinn“ deine letzte Zeile meinst,

ist sie Unsinn weil dort ein Element x mit einer Menge {x} gleichsetztst. Oder?

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Und es gibt auch ein Postulat dass eine Menge sich nicht selbst als Menge enthält.

Wäre dann so was wie: { x, {x}} erlaubt ?

Ich denke nicht, denn angenommen Ich habe eine einelementige Menge {x} wenn ich jetzt diese Menge wieder als Element in dieselbe Menge packe bekomme ich {x, {x}}.

Worauf will ich hinaus?

Ich denke wenn x=y gilt, kann habe ich genau diesen Fall, was dem Postulat widerspricht.

Denkfehler ?