Wie leite ich die Funktion g( x*f(x)^2) korrekt ab?

Question

Servus Leute...

g( x f(x)²) will ich ableiten.

 Um x*f(x)² abzuleiten muss ich auf die Produktregel zurückgreifen. Um f(x)² abzuleiten muss ich die Kettenregel anwenden. Ich würde erst f(x)² mit der Kettenregel ableiten, das dann in g(x*...) einsetzen und mit der Produktregel ableiten. Ist das richtig so?

Answer 1

Hi,

hier hast Du eine zusammengestzte Funktion bei der Du das Argument nach der Produktregel ableiten musst.

$$ \frac{d}{dx}g\left(x\cdot f(x)^2\right)=g'\left(x \cdot f(x)^2 \right)\cdot \left[ f(x)^2+2xf(x)f'(x) \right] $$

Comments

Irgendwie kann ich das noch nicht so genau nachvollziehen. Was genau wurde jetzt zuerst abgeleitet?

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Hi,

Du leitest nach der Kettenregel ab. Du hast die Funktion g(x) und definiere eine Funktion h(x) als \( h(x)=x\cdot [f(x)]^2 \). Dann ist die Funktion die Du ableiten sollst \( g(h(x)) \). Das wird nach der Kettenregel wie folgt abgeleitet
$$ \frac{d}{dx}g(h(x))=g'(h(x))\cdot h'(x) $$ So weit klar?

Jetzt geht es um \( h'(x) \). Da \( h(x)=x\cdot [f(x)]^2 \) gilt, folgt nach der Produktregel \( h'(x)=[f(x)]^2+x\cdot 2\cdot f(x)\cdot f'(x) \) hierbei wurde \( u(x)=x \) und \( v(x)=[f(x)]^2 \) gesetzt. Dann gilt für das Produkt \( [u(x)\cdot v(x)]'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x) \)

Es gilt jetzt \( u'(x)=1 \) und \( v'(x)=2\cdot f(x)\cdot f'(x) \)

Jetzt alles einsetzten und Du kommst auf das Resultat. Jetzt klarer?