Question

Gegeben ist die Funktion f(x)= ln(2013-x). Geben sie den maximalen Definitionsbereich D an, das Verhalten von f an den Grenzen von D sowie die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen.

Definitionsbereich

f(x)= ln(2013-x)

Das Argument darf nicht kleiner als 0 sein und der ln ist ja nicht für 0 definiert oder? Also muss ich gleich 2 Sachen beachten??

Und den Verhalten von f an den Grenzen von D kann ich nicht und die Schnittpunkte auch nicht. Wäre nett wenn mir das jemand zeigen könnte :)

Answer 1

Das Argument darf nicht kleiner als 0 sein und der ln ist ja nicht für 0 definiert oder?

Beides richtig.

Also muss ich gleich 2 Sachen beachten??

Nun, man kann beides zusammenfassen:

Das Argument muss positiv sein.

Also:

D = { x ∈ R | 2013 - x > 0 } = { x ∈ R | x < 2013 }

 

Schnittpunkt mit der y-Achse:

Der Schnittpunkt S_y mit der y-Achse hat die x-Koordinate x = 0.
Die y-Koordinate von S_y ist daher einfach der Funktionswert von f ( x ) an der Stelle x = 0, also:

y = f ( 0 ) = ln ( 2013 - 0 ) = ln ( 2013 ) ≈ 7,61

Also hat  S_y die Koordinaten:

S_y ( 0 | ln ( 2013 ) )

 

Schnittpunkt mit der x-Achse:

Der Schnittpunkt S_x mit der x-Achse hat die y-Koordinate y = 0.
Die x-Koordinate von S_x ist daher diejenige Stelle x, an der gilt: f ( x ) = 0

also:

f ( x ) = 0

<=> ln ( 2013 - x ) = 0

Jeder Logarithmus hat dort den Wert 0, wo sein Argument den Wert 1 hat, also:

<=> 2013 - x = 1

<=> x = 2012

Also hat  S_x die Koordinaten:

S_y ( 2012 | 0 )

 

Randverhalten:

Die Grenzen von D sind

linke Grenze: - unendlich

rechte Grenze:  2013

Es gilt:

lim _{x -> - ∞} ln ( 2013 - x ) = ∞

lim _{x -> 2013} ln ( 2013 - x ) = - ∞

Answer 2

Hi,

das Argument vom Logarithmus muss größer als 0 sein, deshalb ist der Definitionsbereich \( x \lt 2013 \). Bilde die erste Ableitung der Funktion dann siehst Du, das gilt \( \frac{d}{dx}ln(2013-x)=\frac{1}{x-2013} \) wegen \( x \lt 2013 \) gilt \( \frac{d}{dx}ln(2013-x)=\frac{1}{x-2013} \gt 0 \). Also ist die Funktion streng monoton steigend und geht gegen \( \infty \) für \( x \to -\infty \)

\( ln(2013-x)=0 \) gilt wenn 2013-x=1 also x=2012 gilt. ln(2013-0)=ln(2013), dass ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Für x gegen 2013 von links, geht ln(2013-x) gegen \( -\infty \)

Die Funktion sieht so aus