Quotientenregelbeispiel bei Extremwertesuche

Question

Ich hänge bei dieser Rechnung y=16x^2-25 / 4x^2-9 Ich wende die Quotientenregel an, komme aber irgendwie immer auf -88x Was mache och falsch?

Answer 1

Gemeint ist vermutlich (Klammerung beachten!):

y = ( 16 x ² - 25 ) / ( 4 x ² - 9 )

 

Für die Anwendung der Quotientenregel setzt man:

y = u / v

mit

u = 16 x ² - 25

=> u ' = 32 x

und

v =4 x ² - 9

=> v ' = 8 x

also:

y ' = ( u ' * v - u * v ' ) / v ²

= ( 32 x * ( 4 x ² - 9 ) - ( 16 x ² - 25 ) * 8 x ) / ( 4 x ² - 9 ) ²

Zähler ausmultiplizieren:

= ( 128 x ³ - 288 x - 128 x ³ + 200 x ) / ( 4 x ² - 9 ) ²

und zusammenfassen:

= - 88 x / ( 4 x ² - 9 ) ²

 

Offenbar fehlt bei deinem Ergebnis der Nenner.

Was du (noch) falsch machst, kann ich nicht sagen, da du ja nicht schreibst, WAS du machst.

Comments

Danke, ich hab mich also nicht verrechnet. Ich frag mich jetzt halt nur,wenn das die 1 Ableitung ist, wie komm ich fdenn bei so einem Ergebnis auf die 2 Ableitung? Ist doch problematisch bei einer Kurvendiskussion mit nur einer Ableitung.

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Vielleicht wieder (-88x)/(4x^2-9)^2 mit der Quotientenregel bearbeiten?

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wie komm ich fdenn bei so einem Ergebnis auf die 2 Ableitung?

Vielleicht wieder (-88x)/(4x²-9)² mit der Quotientenregel bearbeiten?

Genau!

y ' = - 88 x / ( 4 x ² - 9 ) ²

u = - 88 x

=> u ' = - 88

v = ( 4 x ² - 9 ) ²

=> v ' = 8 x * 2 * ( 4 x ² - 9 ) = 16 x ( 4 x ² - 9 )

(Es empfiehlt sich, nicht weiter auszumultiplizieren, da man beider zweiten Ableitung eines Bruchterms immer eine Nennerpotenz kürzen kann, was man ncht sofort sieht, wenn man vorher den Zähler oder den Nenner ausmultipliziert hat.)

also:

y ' ' = ( u ' * v - u * v ' ) / v ²

= ( ( - 88 ) * ( 4 x ² - 9 ) ² - ( ( - 88 ) x * 16 x ( 4 x ² - 9 ) ) ) / ( 4 x ² - 9 ) ⁴

Wie angekündigt, kann man nun mit einer Nennerpotenz kürzen:

= ( ( - 88 ) * ( 4 x ² - 9 ) - ( ( - 88 ) x * 16 x ) ) / ( 4 x ² - 9 ) ³

= ( - 352 x ² + 792 + 1408 x ² ) / ( 4 x ² - 9 ) ³

= ( 1056 x ² + 792 ) / ( 4 x ² - 9 ) ³

= 264 * (4 x ² + 3 ) / ( 4 x ² - 9 ) ³

 

Man hätte übrigens auch zunächst den Faktor 88 ausklammern, dann den einfacheren Restbruch mit der Quotientenregel ableiten und das Ergebnis dann wieder mit 88 multiplizieren können. Dann hätte man zunächst etwas kleinere Zahlen gehabt.