Konvergenz von: √(n^4 + a·n^3 + b·n^2 + c·n) - n^2

Question

ich soll folgende Folge auf Konvergenz untersuchen und den Grenzwert bestimmen:

b_n = √(n⁴+an³+bn²+cn)-n², wobei a,b,c>0.

Ich habe folgendes gemacht:

Für n>a, n>b, n>c gilt:

√(n⁴+an3+bn²+cn)-n² ≤ √(n⁴+nn³+nn²+nn)-n² ≤ √(2n⁴+n³+n²)-n² ≤ √(4n⁴)-n² =n²

Also ist b_n immer ≤ n² und damit muss b_n konvergent sein.

Meine Fragen sind jetzt:

1. Kann man das so machen?

2. Wie bestimme ich den Grenzwert?

 

Gruß

Marvin

Comments

Mittlerweile hab ich mir weiter überlegt:

Da für n→∞ im Term unter der Wurzel nur der größte Exponent eine Rolle spielt, geht der Term unter der Wurzel gegen n⁴, also ist für n→∞

b_n = √(n⁴) - n² = n² - n² = 0 und damit ist  b_n eine Nullfolge.

Stimmt das?

Answer 1

Hi,

mit der dritten binomischen Formel erhältst Du
$$ b_n=\frac{an^3+bn^2+cn}{\sqrt{n^4+an^3+bn^2+cn}+n^2}=\frac{an+b+\frac{c}{n}}{\sqrt{1+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+\frac{c}{n^3}}+1} $$
Hier geht der Nenner gegen 2 für n gegen unendlich und der Zähler geht gegen unendlich für n gegen unendlich. Also divergiert die Folge, weil ihr Grenzwert gegen \(\infty\) geht.

Answer 2

Wolframalpha sagt das geht gegen unendlich.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+n-%3Einfinity+%E2%88%9A%28n%5E4%2Ban%5E3%2Bbn%5E2%2Bcn%29-n%5E2

 

√(n^4 + a·n^3 + b·n^2 + c·n) - n^2

Unendlich - Unendlich ist nicht definiert und nicht etwa 0. Hier müsste man zunächst rationalisieren denke ich

= (√(n^4 + a·n^3 + b·n^2 + c·n) - n^2) * (√(n^4 + a·n^3 + b·n^2 + c·n) + n^2) / (√(n^4 + a·n^3 + b·n^2 + c·n) + n^2)

= (a·n^3 + b·n^2 + c·n) / (√(n^4 + a·n^3 + b·n^2 + c·n) + n^2)

= n^2·(a·n + b + c/n) / (n^2·√(n + a/n + b/n^2 + c/n^3) + n^2)

= (a·n + b + c/n) / (√(1 + a/n + b/n^2 + c/n^3) + 1)

Der Zähler strebt gegen unendlich und der Nenner strebt gegen 2. Damit ist der Grenzwert unendlich.

Comments

Eine andere Aufgabe findest du unter

https://www.mathelounge.de/122854/folgen-auf-konvergenz-prufen

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Danke, die Antwort hat mir weitergeholfen.

(Hätte ich auch selbst drauf kommen können.)