Brauche Lösungsweg für d) + e)

Question

Hallo liebe Leute ich habe Probleme in einem Aufgabenteil, den unser Lehrer uns mitgegeben hat um uns auf die mündliche Abiturprüfung vorzubereiten, welche jetzt am kommenden Freitag ist.

Zur Aufgabe:

Gegeben seien die Punkte A(1/6/0) B(4/7/2) C(2/7/1) D(2/0/2)

a) Es sei E die Ebene durch ABC. Stellen sie [PF] [KF] auf uns zeigen sie, dass D    nicht in E liegt.

b) Zeigen sie dass die Gerade g durch D mit dem Richtungsvektor |24/-2/11| parallel zu E ist.
                                                              
c) Die ebene F ist orthogonal zu E und enthält die Gerade g. E schneidet F in einer Geraden h. Geben sie die Gleichung für die Gerade an.

d) Die Gerade k durch die Punkte A und B durchstößt die zu ihr orthogonale Ebene durch C in einem Punkt F. Bestimmen sie diesen Punkt und berechnen sie die Länge von CF.
Berechnen sie dann den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

e) Der Abstand von D zu e beträgt 9/wurzel6. Berechnen sie mit Hilfe der Ergebnisse in d) das Volumen der Dreieckspyramide mit den Ecken A,B,C und D

In Aufgabe a)bin ich zu dem Ergebnis gekommen 2=7 was bedeutet, dass D kein Element von E ist. Meine Koordinatenform lautet -x-y+2z = -7

In Aufgaben b) habe ich die Gerade mit der Ebene gleichgesetzt und bin zu dem Ergebis 0=-9 gekommen, was die Parallelität der Gerade und der Ebene bestätigt.

In Aufgabe c) habe ich die Ebene F (hergelietet aus der Geraden g und dem Normalenvektor von E als zweiter Spannvektor) in die Ebene E eingesetzt um die Schnittgrade zu ermitteln. Ergebnis: VektorX=(3,5/1,5/-1) + r (24/-2/11).

So jetzt zu meinem eigentlichen Problem:
Ab Aufgabenteil d) weiß ich mir gar nicht mehr weiterzuhelfen. Ich bitte um eine Hilfestellung/Erklärung, da ich mir einen mehrtägigen Schriftwechsel, so gern ich auch wollte, leider nicht mehr zeitlich erlauben kann.

Ich danke im Voraus und hoffe auf schnellstmögliche Hilfe

Comments

Die Fläche auf der Ebene, die die Vektoren AB und AC aufspannen hast du ja. Nun musst nur doch wissen, wie weit der Punkt D von der Ebene entfernt ist, was du auch schon weißt.

Volumen Pyramide = 1/3 * Grundfläche * Höhe

Answer 1

d) Die Gerade k durch die Punkte A und B durchstößt die zu ihr orthogonale Ebene durch C in einem Punkt F. Bestimmen sie diesen Punkt und berechnen sie die Länge von CF. Berechnen sie dann den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

gAB: X = A + r·AB = [1, 6, 0] + r·[3, 1, 2] = [3·r + 1, r + 6, 2·r]

EC: X·[3, 1, 2] = [2, 7, 1]·[3, 1, 2]
EC: 3·x + y + 2·z = 15

Wir setzen die Gerade in die Ebene ein

3·(3·r + 1) + (r + 6) + 2·(2·r) = 15
r = 3/7

F = [3·r + 1, r + 6, 2·r] = [3·(3/7) + 1, (3/7) + 6, 2·(3/7)] = [16/7, 45/7, 6/7]

|CF| = |[16/7, 45/7, 6/7] - [2, 7, 1]| = √(3/7)

|AB| = |[4,7,2] - [1, 6, 0]| = √14

Fläche ABC = 1/2·|AB|·|CF| = 1/2·(√14)·(√(3/7)) = √(3/2)

Alternative Berechnung über das Kreuzprodukt

Fläche ABC: 1/2·|AB ⨯ AC| = 1/2·|[3, 1, 2] ⨯ [1, 1, 1]| = √(3/2)

e) Der Abstand von D zu E beträgt √(27/2). Berechnen sie mit Hilfe der Ergebnisse in d) das Volumen der Dreieckspyramide mit den Ecken A, B, C und D.

V = 1/3·G·h = 1/3·(√(3/2))·(√(27/2)) = 1.5

Alternative Berechnung über das Spatprodukt

V = 1/6·|(AB ⨯ AC)·AD| = 1/6·|([3, 1, 2] ⨯ [1, 1, 1])·[1, -6, 2]| = 1.5