Nur eine Nullstelle bei Polynom 4. Grades

Question

Hallo Matheexperts,

 

im Bild seht Ihr den Graphen eines Polynoms 4. Grads

 

Nun versuche ich die Nullstellen dieses Polynoms mittels Polynomdivision zu finden. Im Internet gibt es dafür Online-Tools, die das für mich erledigen. Als Ergebnis erhalte ich eine Nullstelle bei x=2 und drei Ergebnisse mit imaginären Zahlen.

Nun meine Frage: Wie kann ein Mensch, der noch nichts von imaginären Zahlen weiss (Schüler der 11 Klasse), durch Polynomdivision, pq-Formel, Ausklammern etc. feststellen, dass dieses Polynom nur eine Nullstelle hat?

 

Vielen Dank für Euere Hilfe

Comments

1. Du solltest dein online-tool wechseln.

2. Wahrscheinlich hast du einen Fehler in der Polynomdivision gemacht.

3. 2 ist auch eine Nullstelle von f'

Answer 1

Hi,

das ist so nicht korrekt. Du hast nur zwei komplexe Nullstellen. Das andere ist zwar eine doppelte Nullstelle, aber deshalb gibt es keine drei komplexe Nullstellen. Das ist bei einer Funktion 4ten Grades ohnehin nicht möglich.


Hier kann man das ganze (nach Polynomdivision) wie folgt ausdrücken:

f(x) = 3/8*x^4-x^3+2 = 1/8*(x-2)^2*(3x^2+4x+4)

wobei letzterer Faktor nur komplexe Nullstellen auswirft, was man mit der pq-Formel gleich sieht ;).


Grüße

Comments

Danke für die schnelle Antwort.

Mir war nicht bewusst, dass ich bei der Polynomdivision auch mit (x-2)^2 dividieren kann. Gibt es ein Kriterium, dass mir sagt, "Du kannst hier auch mit dem Quadrat von (X minus Nullstelle) dividieren"?

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Du kannst gleichzeitig mit allen Nullstellen dividieren. Nur wird das eventuell kompliziert. Du hättest hier auch eine zweifache Polynomdivision machen können, also wenn Du nicht direkt gewusst hättest, dass x = 2 eine doppelte Nullstelle ist ;).

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Ok, probiere ich gleich mal aus.

Vielen Dank