Taylorreihen Entwicklung mit f(x)= 1/2sin(2x). Entwicklungspunkt x0=0

Question

f(x)= 1/2sin(2x) = 0

f'(x)= 1/2cos(2x)*2 =1

f''(x)= -1/2sin(2x)*2²= 0

f'''(x)= -1/2cos(2x)*2³ = -4

f''''(x)= 1/2sin(2x)*2⁴ = 0

f(x)≈f(0)+f'(0)/1!(x-0)¹+f''(0)/2!(x-0)²+f'''(0)/3!(x-0)³+f''''(0)/4!(x-0)⁴

f(x)≈ 0+1(x-0)¹+0/2(x-0)²-4/6(x-0)³+0/24(x-0)⁴

f(x)≈0+x¹+x²-4/6x³+x⁴

Taylorreihe:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} \)

Comments

Nein. Das stimmt nicht

Ich komme auf folgendes Taylorpolynom

x - 2·x^3/3 + 2·x^5/15 - 4·x^7/315 + ...

Und damit zu folgender Summendarstellung.

∑ (k=0 bis ∞) (-1)^k · 2^{2·k} · x^{1 + 2·k}/(1 + 2·k)!

---

Hi Mathecoach

ja ich hab gemerkt, dass es kein x² und somit auch kein x⁴ :(

das finde ich abr sehr schwer mit dem Sigma zu schreiben, da es kein x² und kein  x⁴ gibt. Also muss man das doch extra aufschreiben??

---

Genau. Also kann in der Summe schon mal nicht ein x^n stehen. weil sich n ja schrittweise um 1 erhöht. Also schau dir das noch mal genauer an.

---

Hmm gut wenigstens wusste ich das:)  (eeeiinn riiiiiieeeßen Fortschritt)

ja ich schaus mir an und wenn ich nicht mehr weiter weiß, kommentiere ich?:)

---

Hey nochmal mathecoach:)

∑ (k=0 bis ∞) (-1)^k · 2^2·k · x^{1 + 2·k}/(1 + 2·k)!

x - 2·x³/3 + 2·x⁵/15 - 4·x⁷/315 + ...

Das verstehe ich:

∑(k=0 bis ∞)

Ich markier mal was ich nicht verstehe.. wie kommt man auf (-1)? und dann wieso *x^1+2*k?? wie kommt man auf den Exponenten?? Oo

---

(-1)^k gibt eine Alternierende Folge von +1 und -1. Das kommt daher weil ja auch unsere Reihe immer abwechsenlde Vorzeichen hat.

Schaut man sich dann die Potenzen von x in unserem Polynom an haben wir x^1, x^3, x^5 etc. Die Exponenten beginnen also bei 1 und nehmen immer um 2 zu.
Daher der Exponent 1 + 2k. Das sollte dich vielleicht an eine lineare Funktion erinnern. Y-Achsenabschnitt bei eins und Steigung von 2.

Answer 1

Hi Emre,

 

Kannst Du mich gleich nochmals aufklären, wie Du von 0/2x^2 auf x^2 kommst? Du siehst mich interessiert :P.

 

->

f(x)≈ 0+1(x-0)¹+0/2(x-0)²-4/6(x-0)³+0/24(x-0)⁴

Das war richtig. Die Folgezeile nicht Oo.

 

Ganz einfach als Summe zu schreiben wird das übrigens auch nicht. Müsste zwar im machbaren liegen, aber da brauchts etwas Fingerspitzengefühl :P. Mit bis zur 4ten Ordnung, sieht man da allerdings nicht viel.

 

Grüße

Comments

Hi Unknown:)

warte jetzt bin ich ganz durcheinander :(

Wollen wirs mit dem Sigma probieren? :D

ehm naja 0/2 ist 0 und (x-0)² ist ja die zweite Binomische Formel und das ergibt x²-0x-0 also ...nein warte 0 mal iwas ausmultiplizert gibt 0 :(

es gibt kein x² :(

---

So ist es. Es gibt kein x^2. Damit kann unter Umständen schon viel ausgesagt werden, was die Schreibung mit Sigma angeht ;). Was haben wir denn als erste 6 Glieder (also bis zum Grad 5)?

---

he ich weiß nicht was du genau meinst :(

---

Du hast nur bis zum Grad 4. Ich will aber mindestens Grad 5. Sonst sieht man nicht viel. Aber Mathecoach hat eh schon alles verraten :P. Hätte man allerdings eh nur mit viel Erfahrung hinbekommen, denke ich. Hätte Dich zwar ein bisschen geschubst, aber...

---

Ahsoo:)

Ja haha:)

Ja, wennn du mich ab und zu schubst bei Aufgaben..würde ich mich freuen (also für die Zukunft:D)

trotzdem verstehe ich nicht wie man das jetz tmit dem sigma schreibt, weil hier x² und x⁴ fehlen? muss man das jetzt extra beim sigma schreiben?

---

Schau dazu bei Mathecoach. Setz mal zum Spaß k = 1, 2, 3 ein (nur auf den Exponenten schauen) ;)

---

Jetzt stellt sich die Frage bei mir: Wo soll ich das einsetzen? Beim Sigma oder hier:

x - 2·x³/3 + 2·x⁵/15 - 4·x⁷/315

?? für x?

---

Wie meinen?

Von Mathecoach:

∑ (k=0 bis ∞) (-1)^k · 2^2·k · x^{1 + 2·k}/(1 + 2·k)!

 

Setze im roten Teil einfach mal die genannten k's ein. Der Rest ist mal irrelevant. Geht ja gerade nur um den Verbleib von x^2 und x^4. Erreichst Du das?

---

ja naja aslo ich hab einfach

k=1

1^1+2*1=1

und das auch mit k=2 und k=3??

---

Nee, da ist doch ein x als Basis. Warum machst Du da eine 1 draus? Ich hatte von k = 1 etc. gesprochen. Nicht von x...

---

ja das dachte ich imr ...aber das sah dann so komisch aus :)

x^1+2*1=x³

x^1+2*2= x⁵

x^1+2*3=x⁷

---

Nee, genauso ist das richtig. Nun siehst Du auch wo die x^2, x^4 etc geblieben sind...oder besser gesagt nicht geblieben sind^^.


So, bin aber nun ~2h wech ;). Bis später

---

ja habs gesehen :D
ok bis später :)