Einzelnes Tupel einer Matrix ermitteln (6x6)

Question

Aufgabenstellung:

Für die Matrix

\( \mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrrrrr}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2\end{array}\right) \)

gilt

\( \mathbf{A}^{2}=\left(\begin{array}{rrrrrr}4 & 0 & 1 & 4 & 0 & a \\ 3 & -1 & 1 & 2 & 0 & 3 \\ -2 & 0 & -1 & 0 & 0 & -2 \\ 5 & -1 & 1 & 4 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & 2 & 2 & 2 & 0 & 5\end{array}\right) \)

sowie

\( \quad \mathbf{A}^{3}=\left(\begin{array}{rrrrrc}18 & 0 & 5 & 12 & 0 & 17 \\ 11 & 1 & 3 & 6 & 0 & 9 \\ -6 & -2 & -2 & -2 & 0 & -5 \\ 17 & 1 & 4 & b & 0 & 15 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 18 & 4 & 5 & 12 & 0 & 18\end{array}\right) \)

mit gesuchten Zahlen \( a \) und \( b \). Wie lauten diese?

Achtung: Versäumen Sie nicht, die Rechenwege hinzuschreiben.

Die Ergebnisse lauten für a=5 und b =12.

Answer 1

a errechnest du aus dem (Standard-)Skalarprodukt der 1. Zeile und der letzten Spalte von A

[1, 1, 0, 1, 0, 1]·[1, 1, -1, 1, 0, 2] = 5

b errechnest du aus dem (Standard-)Skalarprodukt der 4. Zeile von A und der 4. Spalte von A^2

[1, -1, 0, 2, 0, 1]·[4, 2, 0, 4, 0, 2] = 12

Comments

vielen Dank erstmal für die Antworten. Die Rechnung an sich ist mir klar. Die Zusammenhänge der drei Matrizen jedoch nicht. Gegeben sind doch lediglich die drei Matrizen ohne Hinweis wie diese zusammenhängen...oder?

Ich verstehe Deine Antwort so:

Um a zu berechnen muss ich als sowohl Zeile und Spalte von A nehmen.

Um b zu berechnen verwende ich die 4. Zeile von A und die 4. Spalte von A².

Warum A²?

Thorsten

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A^2 = A * A

A^3 = A * A^2 oder auch A^2 * A

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@Der_Mathecoach: Das ist hier keine Skalarmultiplikation : https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarmultiplikation, (nicht Skalar mal Vektor )man kann als skalares produkt auffassen, im Sinne: das Standardskalarprodukt der Vektoren: https://de.wikipedia.org/wiki/Standardskalarprodukt

Answer 2

Der Wert an der durch a besetzten Stelle der Matrix A ² ergibt sich durch Skalarmultiplikation der ersten Zeile mit der letzten Spalte der Matrix A , also:

a = A_1,1 * A _6,1 + A_1,2 * A _6,2 + A_1,3 * A _6,3 + A_1,4 * A _6,4 +A_1,5 * A _6,5 +A_1,6 * A _6,6

= 1 * 1 + 1 * 1 + 0 * ( - 1 ) + 1 * 1 + 0 * 0 + 1 * 2

= 5

Ebenso ergibt sich der Wert an der durch b besetzten Stelle der Matrix A ³ durch Skalarmultiplikation der vierten Zeile der Matrix A ² mit der vierten Spalte der Matrix A.