Zeige für komplexe Zahlen: max(|Re z| ,|Im z|) ≤ |z|

Question

Wie kann ich zeigen, dass für komplexe Zahlen die folgende Ungleichung gilt:

$$ \max { (\left| Re\quad z \right| ,\left| Im\quad z \right| ) } \quad \le \quad \left| z \right|$$

Answer 1

wenn z=x+y*i, dann:

$$ |x| = \sqrt{x^2} \leq \sqrt{x^2+y^2} =|z| $$

Analog für |y|.

Und: |x|<=|z|, |y|<=|z|  => max(...) <= |z|

Comments

x und y sind aber reelle Zahlen,für die der Betrag anders definiert ist:

für x < 0: |x| = -x

für x > 0: |x| = x

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Das bedeutet aber das gleiche wie \(|x|=\sqrt{x^2}\).