Gesucht ist die Tangente an eine Funktionsschar.

Question

Ich such den Punkt, in dem die Funktionsschar f(x) = t*x+2/x die Gerade g(x) = 1 berührt.

Wie kann ich t und den Berührpunkt bestimmen?

 

 

Answer 1

f(x) = t·x + 2/x

f '(x) = t - 2/x^2

Es muss gelten

f '(x) = 0
t - 2/x^2 = 0
x = +- √(2/t)

f(√(2/t)) = √(8t) = 1 --> t = 1/8

f(-√(2/t)) = -√(8t) ≠ 1

Berührpunkt x = √(2/(1/8)) = 4
f(4) = 1/8 * 4 + 2/4 = 1

Skizze:

Comments

Lässt sich die Aufgabe auch ohne Ableitung lösen?

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Ja das würde auch gehen:

Es muss gelten f(x) = 1

tx + 2/x = 1
tx^2 + 2 = 1x
tx^2 - x + 2 = 0

 

Diskriminante der abc-Formel

b^2 - 4ac = 0 (Damit doppelte Lösung)

(-1)^2 - 4*t*2 = 0
1 - 8t = 0
t = 1/8

Berührpunkt bestimme ich dann wie vorher.

Answer 2

An der Berührungsstelle x muss gleichzeitig gelten:

f(x) = g(x) = 1

f'(x) = g'(x) = 0

Berechnet man erstmal die Ableitung von f:

f'(x) = t - 2/x²

dann ergibt sich das Gleichungssystem:

1 = t*x+2/x
0 = t-2/x²

Die zweite Gleichungs lässt sich umstellen zu:

t = 2/x²

eingesetzt in die erste Gleichung, erhält man:

1 = 2/x + 2/x

1 = 4/x

x = 4

Also: t = 2/16 = 1/8

 

Der Berührpunkt lautet:

(x, f(x)) = (4, 1)